§ 82. Гравитационное поле в релятивистской механике

Основное свойство гравитационных полей, — что все тела движутся в них одинаковым образом, — остается в силе и в релятивистской механике. Остается, следовательно, и аналогия между гравитационными полями и неинерциальными системами отсчета. Поэтому естественно при изучении свойств гравита­ционных полей в релятивистской механике тоже исходить из этой аналогии.

В инерциальной системе отсчета в декартовой системе коор­динат интервал ds определяется формулой

ds² = с² df — dx* — dy² — dz\

При переходе к любой другой инерциальной системе отсчета (т. е. при преобразовании Лоренца) интервал, как мы знаем, сохраняет тот же самый вид. Однако, если цы перейдем к не­инерциальной системе отсчета, то ds² уже не будет суммой квадратов дифференциалов четырех координат.

Так, при переходе к равномерно вращающейся системе ко­ординат

х = х'cosQt —у'sinQt, У = sin Ш + у' cosQ/, 2 —^

(Q — угловая скорость вращения, направленная вдоль оси г) интервал приобретает вид

ds² = [с² - Q² (х⁷² + у'²)] dfl - dx*³ - dy¹* -

^{— dz'2 + 2Qy' dx' dl — 2Qx' dy' dt.}

По какому бы закону ни преобразовывалось время, это выра­жение не может быть приведено к сумме квадратов дифферен­циалов четырех координат.

Таким образом, в неинерциальной системе отсчета квадрат интервала является некоторой квадратичной формой общего вида от дифференциалов координат, т. е. имеет вид

dsP^gtkdx* dx^k, (82,1)

где gik — некоторые функции пространственных координат х¹, х², х³ и временной координаты х°. Четырехмерная система ко­ординат х°, х¹, х², х³ является, таким образом, при пользовании неинерциальными системами отсчета криволинейной. Величины gik, определяя все свойства геометрии в каждой данной криво­линейной системе координат, устанавливают, как говорят, ме­трику пространства-времени.

Величины gi_k можно, очевидно, всегда считать симметрич­ными по индексам i и k (gik — gkt), поскольку они определяются из симметричной формы (82,1), куда gu, и g_M входят помно­женными на одно и то же произведение dx'dx^k, В общем случае

имеется, следовательно, всего 10 различных величин gik— че­тыре с одинаковыми и 4-3/2 = 6 с различными индексами. В инерциальной системе отсчета при пользовании декартовыми пространственными координатами х¹>²-³ = х, у, z и временем х^й = с( величины gi_k равны

£оо=1. £и = £22 = £зз=— 1. g« = 0 при / Ф к. (82,2)

Систему координат (четырехмерную) с этими значениями g,_ft мы будем называть галилеевой.

В предыдущем параграфе было показано, что неинерциаль-ные системы отсчета эквивалентны некоторым силовым полям. Мы видим теперь, что в релятивистской механике эти поля опре­деляются величинами gik.

То же самое относится и к «истинным» гравитационным по­лям. Всякое гравитационное поле является не чем иным, как изменением метрики пространства-времени, соответственно чему оно определяется величинами gi_k. Это важнейшее обстоятельство означает, что геометрические свойства пространства-времени (его метрика) определяются физическими явлениями, а не яв­ляются неизменными свойствами пространства и времени.

Теория гравитационных полей, построенная на основе теории относительности, носит название общей теории относительности. Она была создана Эйнштейном (и окончательно сформулиро­вана им в 1915 г.) и является; пожалуй, самой красивой из су­ществующих физических теорий. Замечательно, что она была построена Эйнштейном чисто дедуктивным путем и лишь в даль­нейшем была подтверждена астрономическими наблюдениями.

Как и в нерелятивистской механике, между «истинными» гра­витационными полями и полями, которым эквивалентны неинер-циальные системы отсчета, имеется коренное отличие. При пе­реходе к неинерциальной системе отсчета квадратичная форма имеет вид (82,1), т. е. величины g_ik получаются из их гали-леевых значений (82,2) преобразованием координат, а потому обратным преобразованием могут быть снова приведены во всем пространстве к галилеевым значениям. То, что такой вид g_ik является лишь весьма специальным, видно уже из того, что преобразованием всего лишь четырех координат нельзя, в об­щем случае, привести десять величин gi_k к наперед заданному виду.

^! Истинное гравитационное поле не может быть исключено ни­каким преобразованием координат. Другими словами, при на­личии гравитационного поля пространство-время таково, что определяющие его метрику величины g,_ft никаким преобразова­нием координат не могут быть приведены во всем пространстве к их галилееву виду. Такое пространство-время называют кри­вым в отличие от плоского, в котором указанное приведение возможно.

Надлежащим преобразованием координат можно, однако, привести gi_k к галилееву виду в любой отдельной точке негали-леева пространства-времени: это сводится к приведению к диа­гональному виду квадратичной формы с постоянными коэффи­циентами (значения gi_k в данной точке). Такую систему коор­динат мы будем называть галилеевой для данной точки¹).

Заметим, что, будучи приведенной в данной точке к диаго­нальному виду, матрица величин gik имеет одно положительное и три отрицательных главных значения (совокупность этих зна­ков называют сигнатурой матрицы). Отсюда следует, в част­ности, что определитель g, составленный из величин gik, в реаль­ном пространстве-времени всегда отрицателен:

g < 0. (82,3)

Изменение метрики пространства-времени означает также и изменение чисто пространственной метрики. Галилеевым g_ik в плоском пространстве-времени соответствует евклидова геоме­трия пространства. В гравитационном же поле геометрия про­странства становится неевклидовой. Это относится как к «истинным» гравитационным полям, в которых пространство-время «искривлено», так и к полям, возникающим лишь от не-инерциальности системы отсчета и сохраняющим пространство-время плоским.

Вопрос о пространственной геометрии в гравитационном поле будет рассмотрен более подробно в § 84. Здесь же полезно при­вести простое рассуждение, наглядно иллюстрирующее неиз­бежность возникновения неевклидовости пространства при пе­реходе к неинерциальной системе отсчета. Рассмотрим две си­стемы отсчета, из которых одна (К) инерциальна, а другая (К') равномерно вращается относительно К вокруг общей оси г. Окружность в плоскости ху системы К (с центром в начале ко­ординат) может рассматриваться и как окружность в плоскости х'у' системы К'. Измеряя длину окружности и ее диаметр мас­штабной линейкой в системе К, мы получим значения, отноше­ние которых равно я, в соответствии с евклидовостью геометрии в инерциальной системе отсчета. Пусть теперь измерение про­изводится неподвижным относительно К' масштабом. Наблю­дая за этим процессом из системы К, мы найдем, что масштаб, приложенный вдоль окружности, претерпевает лоренцево сокра­щение, а радиально приложенный масштаб не меняется. Ясно поэтому, что отношение длины окружности к ее диаметру, полу­ченное в результате такого измерения, окажется больше я.

') Во избежание недоразумений укажем, однако, уже сейчас, что выбор такой системы координат не означает еще исключения гравитационного поля в соответствующем бесконечно малом элементе 4-объема. Такое исключение, тоже всегда возможное в силу принципа эквивалентности, означает нечто большее (см. § 87).

В общем случае произвольного переменного гравитационного поля метрика пространства не только неевклидова, но еще и ме­няется со временем. Это значит, что меняются со временем со­отношения между различными геометрическими расстояниями. В результате взаимное расположение внесенных в поле «проб­ных частиц» ни в какой системе координат не может оставаться неизменным¹). Так, если частицы расположены вдоль какой-либо окружности и вдоль ее диаметра, то поскольку отношение длины окружности к длине диаметра не равно g и меняется со временем, ясно, что если расстояния частиц вдоль диаметра остаются неизменными, то должны изменяться расстояния вдоль окружности, и наоборот. Таким образом, в общей теории отно­сительности, вообще говоря, невозможна взаимная неподвиж­ность системы тел.

Это обстоятельство существенно меняет само понятие си­стемы отсчета в общей теории относительности по сравнению с тем смыслом, который оно имело в специальной теории. В по­следней под системой отсчета понималась совокупность покоя­щихся друг относительно друга, неизменным образом взаимно расположенных тел. При наличии переменного гравитационного поля таких систем тел не существует и для точного определения положения частицы в пространстве необходимо, строго говоря, иметь совокупность бесконечного числа тел, заполняющих все пространство, наподобие некоторой «среды». Такая система тел вместе со связанными с каждым из них произвольным образом идущими часами и является системой отсчета в общей теории относительности.

В связи с произвольностью выбора системы отсчета законы природы должны записываться в общей теории относительности в виде, формально пригодном в любой четырехмерной системе координат (или, как говорят, в ковариантном виде). Это об­стоятельство, однако, разумеется не означает физической экви­валентности всех этих систем отсчета (подобной физической эквивалентности всех инерциальных систем отсчета в специаль­ной теории). Напротив, конкретный вид физических явлений, в том числе свойства движения тел, во всех системах отсчета становится различным.