§ 80. Рассеяние волн с большими частотами

Рассмотрим теперь рассеяние волн системой зарядов в об­ратном случае, когда частота со волны велика по сравнению с основными собственными частотами системы. Последние имеют порядок величины coo ~ v/a, так что со должно удовлетворять условию

со>со₀~7- (80,1)

Кроме того, мы будем предполагать, что скорости зарядов в си­стеме малы (»<с).

Согласно условию (80,1) период движения зарядов в системе велик по сравнению с периодом волны. Поэтому в течение про­межутков времени порядка периода волны движение зарядов в системе можно считать равномерным. Это значит, что при рас­смотрении рассеяния коротких волн можно не учитывать взаи­модействия зарядов в системе друг с другом, т. е. их можно считать свободными.

Таким образом, при вычислении скорости v', приобретаемой зарядом в поле падающей волны, мы можем рассматривать каждый заряд системы в отдельности и писать для него урав­нение движения в виде

m4^ = eE = eE₀e-'^-^kr»,

>) Этот результат фактически справедлив для рассеяния света не только нейтральными атомами, но и ионами. Благодаря большой массе ядра рас­сеянием, происходящим от движения иона как целого, можно пренебречь.

где к = соп/с — волновой вектор падающей волны. Радиус-век­тор заряда является, конечно, функцией времени. В показателе экспоненциального множителя с правой стороны этого уравнения скорость изменения первого члена со временем велика по срав­нению со скоростью изменения второго (первая равна со, а вто­рая— порядка kv ~ va/c <С со). Поэтому при интегрировании уравнений движения можно считать в правой их части г по­стоянным. Тогда

v' = — -J— Е₀е-'" <^m'-^kr>. (80,2)

mm ^{и v} ' ¹

Для векторного потенциала рассеянной волны (на больших рас­стояниях от системы) имеем согласно (79,1):

где сумма берется по всем зарядам системы. Подставляя сюда (80,2), находим:

^А' = -*Ъ'~'*^(,Ч1)е» (8о,з)

где q==k' — к есть разность между волновым вектором рассеян­ной k' = con'/с и волновым вектором к = con/с падающей волн'). Значение суммы в (80,3) должно браться в момент времени t' — t — Ro/c, так как изменением г за время гп'/с можно пре­небречь ввиду предполагаемой малости скоростей частиц (ин­декс f, как обычно, для краткости опускаем). Абсолютная вели­чина вектора q равна

<7 = 2-^sin± (80,4)

где т) — угол рассеяния.

При рассеянии на атоме (или молекуле) в сумме в (80,3) можно пренебречь членами, соответствующими ядрам, ввиду большой величины их масс по сравнению с массами электронов. Ниже мы будем иметь в виду именно этот случай, соответствен­но чему вынесем множитель е²/т за знак суммы, понимая в нем под е и т заряд и массу электрона.

Для поля Н' рассеянной волны находим согласно (66,3):

_н,₌ м_е-..(.-А)^_Ее_„_г_ _(ад

Поток энергии в элемент телесного угла в направлении п' равен

') Строго говоря, волновой вектор к' = а'п'/с, где частота со' рассеян­ной волны может отличаться от со. Разностью со' — <в ~ ю₀ можно, однако, пренебречь в рассматриваемом случае больших частот.

Разделив это на поток энергии с|Е»|²/8я падающей волны и вводя угол 9 между направлением поля Е падающей волны к направлеием рассеяния, находим окончательно сечение рассея­ния в виде

^{da=(-&Y\Y.e~t4,fsin*Bdo- <80'6>}

Черта обозначает усреднение по времени, т. е. усреднение по движению зарядов в системе; оно производится ввиду того, что рассеяние наблюдается в промежутки времени, большие по срав­нению с периодом движения зарядов в системе.

Для длины волны падающего излучения из условия (80,1) следует неравенство Я «< ас/v. Что же касается относительной величины Я и а, то возможны оба предельных случая Я » а и Я <С а. В обоих этих случаях общая формула (80,6) значительно упрощается.

При Я>а в выражении (80,6) qr<Cl, поскольку <? ~ 1/Я, г ~ а. Заменяя соответственно этому е¹^^т единицей, имеем:

rfo-=Z²(^)²sin²0rfo, (80,7)

т. е. рассеяние пропорционально квадрату числа Z электронов в атоме.

Перейдем к случаю Я <С а. В квадрате суммы в (80,6) на­ряду с равными единице квадратами модуля каждого из членов имеются произведения вида е'*^(Г1~^тК При усреднении во движе­нию зарядов, т. е. по их взаимным расположениям в системе, разности п—г₂ пробегают значения в интервале порядка а. Поскольку <7 ~ 1/Я, Я <С о, то экспоненциальный множитель £<q(ri-r,) является в этом интервале быстро осциллирующей функцией, и его среднее значение обращается в нуль. Таким образом, при Я <С а сечение рассеяния равно

da = Z (-^2 )² sin²e do, (80,8)

т. е. пропорционально первой степени атомного номера. Заметим, что эта формула неприменима при малых углах рассеяния (f> ~ К/а), так как в этом случае q — Ь/Х ~ 1/а и показатель qr невелик по сравнению с единицей.

Для определения еечевия когерентного рассеяния мы должны выделить ту часть поля рассеянной волны, которая имеет ча­стоту ю. Выражение (80,5) для поля зависит от времени через множитель е~^ш в, кроме того, от времени зависит также сумма Y, е~'^чГ. Эта последняя зависимость и приводит к тому, что в поле рассеянной волны содержатся наряду с частотой со еще и другие (хотя и близкие к вей) частоты. Та часть поля, которая обладает частотой о> (т. е, зависит от времени только посред-

РАССЕЯНИЕ ВОЛН С БОЛЬШИМИ ЧАСТОТАМИ

291

ством множителя е~^ш), получится, очевидно, если усреднить по времени сумму ]Г/ е~**^т. Соответственно этому выражение для сечения когерентного рассеяния da_Kor отличается от полного се­чения do тем, что вместо среднего значения квадрата модуля суммы в нем стоит квадрат модуля среднего значения суммы:

^do_K0T ^{= (-^г)21 £ e-*v |2 sin2 6 do. (80,9)}

Полезно заметить, что это среднее значение суммы есть (с точ­ностью до коэффициента) не что иное, как пространственная компонента Фурье от среднего распределения р(г) плотности электрического заряда в атоме:

_e^JV*qr₌ ^{J р (г) e~f4r с?1/ = р}_а^{. (80,10)}

При J,>a мы можем снова заменить е~'^чг единицей, так что <*<т_ког = Z² (-j^r f sin²e do. (80,11)

Сравнивая это с полным сечением (80,7), мы видим, что dow = = de, т. е. все рассеяние является когерентным.

Если же а < а, то при усреднении в (80,9) все члены суммы (как средние значения быстро осциллирующих функций време­ни) исчезают, так что dor_Kor = 0. Таким образом, в этом случае рассеяние целиком некогерентно.