1. Найти закон преобразования компонент симметричного 4-тензора л'* при преобразовании Лоренца (6,1).

Решение. Рассматривая компоненты 4-тензора как произведения двух компонент 4-вектора, получим:

л». -^(л^ + г-^л'о! +

¹ с²

—V(^ⁿ + ²T^/J1+^^)' ¹ с²

Л²² = Л'²², Л²³ = Л'²³, Л¹² = , ¹ (a^ + La^X

_■^,_"'-T-VK^0,₍^,+_-?)⁺_T^J_"*⁺_{f ""']■}

¹ с²

Л 02.

и аналогичные формулы для Л³³, Л¹³, Л⁰³.

2. То же для антисимметричного тензора л'*.

Решение. Поскольку координаты х¹, х³ не меняются, то не меняется й компонента тензора Л²³, а компоненты Л¹², Л¹³ и Л⁰², Л⁰³ преобразуются как х¹ и *°:

л²³ = л'²³ Л¹² ^ ^с

А 9

и аналогично для Л¹³, Л⁰³.

По отношению к поворотам двухмерной системы координат в плоскости Л¹ (каковыми являются рассматриваемые преобразования) компоненты А⁰¹ = —А¹⁰, А⁰⁰ = Л¹¹ = 0 составляют антисимметричный тензор ранга, рав­ного числу измерений пространства. Поэтому (см. примечание на стр. 35) при преобразованиях эти компоненты не меняются:

Л^П1=Л'⁰¹.

§ 7. Четырехмерная скорость

Из обычного трехмерного вектора скорости можно образо­вать и четырехмерный вектор. Такой четырехмерной скоростью (4-скоростью) частицы является вектор

»¹ = ЧГ- -(7.0

Для нахождения его компонент замечаем, что согласно (3,1 \

^{ds — cdt /\J 1 — -^j-,}

где v — обычная трехмерная скорость частицы. Поэтому ! dx¹ dx Vx

и т. п. Таким образом:

(7,2)

Отметим, что 4-скорость есть величина безразмерная.

Компоненты 4-скорости не независимы. Замечая, что dxidx' = = ds², имеем:

и¹щ=\. (7,3)

Геометрически и' есть единичный 4-вектор касательной к миро­вой линии частицы.

Аналогично определению 4-скорости, вторую производную

i d²x^l du^l

^{w ==}-_aw ⁼ -dT

можно назвать 4-ускорением. Дифференцируя соотношение (7,3), найдем:

и,»'-О, (7,4)

т. е. 4-векторы скорости и ускорения взаимно ортогональны.

Задача

Определить релятивистское равноускоренное движение, т. е. прямоли­нейное движение, при котором остается постоянной величина ускорения до в собственной (в каждый данный момент времени) системе отсчета.

Решение. В системе отсчета, в которой скорость частицы v = 0, ком­поненты 4-ускорения равны w' = (0, w/c², О, 0) (w — обычное трехмерное ускорение, направленное вдоль оси х). Релятивистски инвариантное условие равноускоренности должно быть представлено в виде постоянства 4-скаляра, совпадающего с до² в собственной системе отсчета:

i * а"² WW, = const за -г-.

wt + const.

Полагая о = 0 при t = О, имеем const = 0, так что

Интегрируя еще раз и полагая лг = 0 при / = О, получим:

При !»/<(; эти формулы переходят в классические выражения v = wt, х = wt²/2. При wt -*■ оо скорость стремится к постоянному значению с.

Собственное время равноускоренно движущейся частицы дается инте­гралом

C_A/,_i!l_{rf/ =} J._Arsh^i.

о

При t-*oo оно растет по значительно более медленному чем t закону

с , 2wt

— In .

W с