1. Определить спектральное распределение полной (по всем направле­ниям) интенсивности излучения при условии (77,2).

Решение. Излучение с каждого элемента длины траектории опреде­ляется формулой (74,13)', в которой надо заменить Н на значение F попе­речной силы в данной точке и, кроме того, надо перейти от дискретного спектра частот к непрерывному. Этот переход осуществляется формальным умножением на dn и заменой

. , . dn . da>

Интегрируя затем интенсивность по всему времени, найдем спектральное распределение полного излучения в следующем виде:

"²

2е^гш[ d<E_& = — dra ■

где Ф(и) —функция Эйри от аргумента

_{■-[^(—£)Г-}

Подынтегральное выражение зависит от переменной интегрирования t не­явным образом через величину и (F, а с ним и и, меняются вдоль траекто­рии частицы; при заданном движении это изменение можно рассматривать как зависимость от времени).

2. Определить спектральное распределение полной (по всем направле­ниям) излученной энергии при условии (77,4).

Решение. Имея в виду, что основную роль играет излучение под малыми углами к направлению движения, пишем:

^ш_'=Ч^,_-т-^е_)-(¹_{-т+^)-тО-?+4}

Интегрирование выражения (77,6) по углам do = sin 9 d0 dap « 8 d9 dq> за: меняем интегрированием no dcpda'/w. При раскрытии квадрата двойного векторного произведения в (77,6) следует иметь в виду, что в ультрареля­тивистском случае продольная составляющая ускорения мала по сравнению с поперечной (в отношении 1 — i^/c²) и в данном случае с достаточной сте­пенью точности можно считать w и v взаимно перпендикулярными. В ре­зультате получим для спектрального распределения полного излучения сле­дующую формулу:

Vcodco f° |w-|²r w / v²\ со* / o²\21 d<BT_w = V ' • ¹ l (l 1+ —Л 1 1 dco\

§ 78. Рассеяние свободными зарядами

Если на систему зарядов падает электромагнитная волна, то под ее влиянием заряды приходят в движение. Это движение в свою очередь сопровождается излучением во все стороны; происходит рассеяние первоначальной волны.

Рассеяние удобно характеризовать отношением количества энергии, испускаемо^ рассеивающей системой в данном направ­лении в единицу времени к плотности потока энергии падаю­щего на систему излучения. Это отношение имеет размерность площади и называется эффективным сечением (или просто се­чением) рассеяния.

Пусть dl есть энергия, излучаемая системой в телесный угол do (в 1 с) при падении на нее волны с вектором Пойнтинга S. Тогда сечение рассеяния (в телесный угол do) равно

^{do=-f (78,1)}

(черта над буквой означает усреднение по времени). Интеграл от do по всем направлениям есть полное сечение рассеяния.

Рассмотрим рассеяние, производимое одним неподвижным свободным зарядом. Пусть на этот заряд падает плоская моно­хроматическая линейно" поляризованная волна. Ее электриче­ское поле можно написать в виде

^{Е = Е}₀ ^{cos (kr — со/ -f а).}

Будем предполагать, что скорость, приобретаемая зарядом под действием поля падающей волны, мала по сравнению со скоростью света, что практически всегда выполняется. Тогда

(Можно считать, что сила, действующая на заряд, равна еЕ, а

силой ylvH] со стороны магнитного поля можно пренебречь.

В этом случае можно также пренебречь влиянием смещения за­ряда при его колебаниях под влиянием поля. Если заряд совер­шает колебания около начала координат, то можно тогда счи­тать, что на него все время действует то поле, которое имеется в начале координат, т. е.

Е = Е₀ cos (at — а). Поскольку уравнения движения заряда гласят

тг = еЕ,

а его дипольный момент d = ег, то

d = ^E. (78,2)

Для вычисления рассеянного излучения воспользуемся фор­мулой (67,7) для дипольного излучения; мы имеем право сде­лать это, поскольку приобретаемая зарядом скорость предпола­гается малой. Заметим также, что частота излучаемой зарядом |(т. е. рассеянной им) волны равна, очевидно, частоте падающей волны.

Подставляя (78,2) в (67,7), находим:

d/=^[En'Frfo, (78,3)

где п' — единичный вектор в направлении рассеяния. С другой стороны, вектор Пойнтинга падающей волны равен

4л .

Отсюда находим сечение рассеяния в телесный угол do:

da = (-^г)² sin² 9 do, (78,4)

где 0 — угол между направлением рассеяния и направлением электрического поля Е падающей волны. Мы видим, что сече­ние рассеяния свободным зарядом не зависит от частоты.

Определим полное сечение а. Для этого выберем направле­ние Е в качестве полярной оси; тогда do = sin0d9d<p и, инте­грируя по dQ от 0 до я и по d<$ от 0 до 2л, находим:

-*(£■)' <ад

(так называемая формула Томсона).

Наконец, вычислим дифференциальное сечение da в случае, когда падающая волна не поляризована (естественный свет).

Для этого мы должны усреднить (78,4) по всем направлениям вектора Е в плоскости, перпендикулярной к направлению рас­пространения падающей волны (направлению волнового век­тора к). Обозначив через е единичный вектор в направлении Е,

пишем:

ЮТ = 1 - (n'e)² = 1 - п'_ап;е_ае^.

Усреднение осуществляется формулой') и дает

^{« = 4(1+-№) = -1(1 + соз^),}

где т> — угол между направлениями падающей и рассеянной волн (угол рассеяния). Таким образом, искомое сечение рас­сеяния неполяризованной волны свободным зарядом:

^da=H -£с?У &+^cos2 *) ^do- <⁷⁸'⁷⁾

Наличие рассеяния приводит к появлению некоторой силы, действующей на рассеивающую частицу. В этом легко убедиться из следующих соображений. Падающая на_частицу волна теряет в среднем в единицу времени энергию с Wo, где W — средняя плотность энергии, а о — полное сечение рассеяния. Поскольку импульс поля равен его энергии, деленной на скорость света, то падающая волна теряет при этом импульс, равный по величине Wo. С другой стороны, в системе отсчета, в которой заряд со- вершает лишь малые колебания под влиянием силы еЕ, и его скорость v поэтому мала, полный поток импульса в рассеянной волне равен, с точностью до членов высшего порядка по v/c, нулю (в § 73 было указано, что в системе отсчета, в которой v — 0, излучения импульса частицей не происходит). Поэтому весь теряемый падающей волной импульс «поглощается» рас- сеивающей частицей. Средняя действующая на частицу сила f равна средней величине поглощаемого в единицу времени им- пульса, т. е. _ _

F= oWn (78,8)

(п — единичный вектор в направлении распространения падаю­щей волны). Отметим, что средняя сила оказывается величиной второго порядка по отношению к полю падающей волны, в то

') Действительно, е_ае^ есть симметричный тензор с равным 1 следом, дающий нуль при умножении на k_a ввиду перпендикулярности е и к. Этим (условиям и удовлетворяет написанное выражение.

время как «мгновенная» сила (главная часть которой есть еЕ) — первого порядка по отношению к полю.

Формулу (78,8) можно получить и непосредственно, усред­няя силу торможения (75,10). Первый член, пропорциональный Е, при усреднении обращается в нуль (как и среднее значение основной силы еЕ). Второй же член дает:

¹ ~~ Зт'с* ^£П~ 3 V тс² ) ' 4я ^П' что ввиду (78,5) совпадает с (78,8).

Задачи

1. Определить сечение рассеяния эллиптически поляризованной волны свободным зарядом.

Решение. Поле волны имеет вид Е = A cos (со/ -f- a) -f- В sin (со/ + а), где А и В — взаимно перпендикулярные векторы (см* § 48), Аналогично выводу, проделанному в тексте, находим:

V. тс² ) А² + В²

2. Определить сечение рассеяния линейно поляризованной волны заря> дом, совершающим (под влиянием некоторой упругой силы) малые колеба- ния (так называемым осциллятором).

Решение Уравнение движения заряда в падающей на него волне Е = Ео cos (со/ -f- а) есть

г -f- ШцГ =-—Е₀ cos (со/ + а),

где <й₀ — частота его свободных колебаний. Для вынужденных колебаний имеем отсюда:

_ еЕ₀ cos (со/ + «) т (со², ^— °>²)

Определяя отсюда d, находим:

/ е² V со⁴

da = [ 5-1 -7-5 z-t- siti²9do

V mc^z ) (&i - а^гу

(9 — угол между Е и п').

3. Определить полное сечение рассеяния света электрическим диполем, представляющим собой в механическом отношении ротатор. Частота волны со предполагается большой по сравнению с частотой Qo свободного вращения ротатора.

Решение. При условии со » Яо собственным вращением ротатора мож­но пренебречь и рассматривать только вынужденное вращение под влия­нием момента сил [dE], действующего на него со стороны рассеиваемой волны. Уравнение этого движения: /Q=[dE], где / — момент инерции ро­татора, a Q — угловая скорость вращения. Изменение же вектора диполь-ного момента при его вращении без изменения абсолютной величины дается формулой d = [Qd]. Из этих двух уравнений находим (опуская член, квад­ратичный по малой величине О):

^{d = -j- [[dE] d] - i- {Ed2 - (Ed) d}.}

Предполагая все ориентации диполя в пространстве равновероятными и усредняя d² по ним, получим в результате полное сечение в виде

16яЛ⁴ ° ~~ 9с⁴/² *