1. Определить предельную энергию, которой может обладать частица после пролета через поле магнитного диполя т; вектор ш и направление дви­жения лежат в одной плоскости.

Решение. Выбираем плоскость, проходящую через вектор m и на­правление движения, в качестве плоскости xz, причем частица движется параллельно оси л: на расстоянии р от нее. Для действующих на частицу поперечных компонент поля магнитного диполя имеем (см, (44,4)):

„ (3mr)z — irur² m ,„, . . . , , ,

Я_г= '— —= ■ , ,,,/. ■ (3 (р cos <р + х sin ф)р-(р²-(-л²) cosq)

f (р² + х )"

(ф — угол между Ю и осью г). Подставляя в (76,6) и производя интегри­рование, получим:

•7— = м"'" « f-A-V <¹⁵ + ^26cos' Ф>-ё_кр 64mVp⁵ \ тс² )

2. Написать трехмерное выражение для силы торможения в релятивист­ском случае.

Решение. Вычисляя пространственные компоненты 4-вектора (76,3), получим.

^*-_е^{&('-^Г{(4+С^)в}₊^1[»(А _{+ (}^{^)}_и^]} ₊

+ w{^!EHi + 7^{1H[Hv|) +} T^E(vE)}-

^{—Т *\vКЕ+т[ун]У - -рт(Ev)2}-}

§ 77. Спектральное разложение излучения в ультрарелятивистском случае

Выше (§ 73) было показано, что излучение ультрареляти­вистской частицы направлено в основном вперед, вдоль скорости частицы: оно почти целиком заключено в малом интервале углов

вокруг направления v.

Для вычисления спектрального разложения излучения суще­ственно взаимоотношение между величиной этого интервала и. полным углом отклонения а частицы при пролете через внешнее электромагнитное поле.

Угол а может быть оценен следующим образом. Поперечное (к направлению движения) изменение импульса частицы по­рядка величины произведения поперечной силы eF^l) на вр-емя пролета через поле t ~ a/v « а/с (где а — расстояние, на ко­тором поле заметно отлично от нуля). Отношение этой величины к импульсу

mv тс

^{V1--£ V1--?-}

и определит порядок величины малого угла а: .

eFa Г. о²"

а ~ =- л / 1 _г.

') Если выбрать ось * вдоль направления движения частицы, то (eF)²

есть сумма квадратов у- и г-составляющих лоренцевой силы еЕ Н [vH],

в которой можно при этом положить v « с:

F² = (E_y-H_z)² + (E_z + H_y)\

тс* V с

Разделив его на Д6, найдем:

a eFa

(77,1)

Обратим внимание на то, что это отношение не зависит от ско­рости частицы и целиком определяется свойствами самого внеш­него поля.

Предположим сначала, что

eFa^mc², (77,2)

т. е. полный угол отклонения частицы велик по сравнению с Д9. Тогда мы можем утверждать, что излучение в заданном направ­лении происходит в основном с того участка траектории, на котором скорость частицы почти параллельна этому направле­нию (образует с ним угол в интервале Д0) и длина этого участ­ка мала по сравнению с а. На таком участке none F можно счи­тать постоянным и поскольку малый участок кривой можно рас­сматривать как отрезок окружности, то мы можем применить результаты, полученные в § 74 для излучения при равномерном движении по окружности (заменив при этом Н на F). В част­ности, можно утверждать, что основная часть излучения будет сосредоточена в области частот

» Т^ЧГТ (77-3)

(см. (74,16)).

В обратном предельном случае

eFa < шс² (77,4)

полный угол отклонения частицы мал по сравнению с Д8. В этом случае все излучение происходит в основном в один узкий ин­тервал углов Д6 вокруг направления движения, определяясь при этом всей траекторией частицы.

Для вычисления спектрального разложения интенсивности в этом случае удобно исходить из выражения для поля в вол­новой зоне излучения в форме Лиенара — Вихерта (73,8). Вы­числим компоненту Фурье

^Е_ш ^{= j Ee^dt.}

Выражение в правой стороне формулы (73,8) есть функция за­паздывающего момента времени ¥, определяющегося из условия t' = t — R(t')/c. На больших расстояниях от частицы, движу­щейся с почти постоянной скоростью v, имеем:

f~t - -§*■ + -i-nr (О - / + 7 ™?

^{(г = г(f) « vr' — радиус-вектор частицы), или}

'-'О--?)+*•

Интегрирование по dt заменяем интегрированием по dt?, по­ложив

■л-(1--^-)л',

и получаем:

"•-^Icfz^if-K-f)-^]]'"'⁰^

Скорость v рассматривается здесь везде как постоянная вели­чина; переменным является лишь ускорение w(r'). Введя обо­значение

co' = co(l--^) (77,5)

и соответствующую этой частоте компоненту Фурье ускорения, напишем Е_т в виде

Наконец, согласно (66,9), находим окончательно для энергии, излученной в телесный угол do с частотой в da>:

-*—=г(,?-ЛИ(««ад

Оценку порядка величины частот, в области которых сосре­доточена основная часть излучения в случае (77,4), легко сде­лать, заметив, что компонента Фурье wv заметно отлична от нуля лишь, если время 1/со' или, что то же,

1

будет того же порядка, что и время a/v ~ а/с, в течение кото­рого заметным образом меняется ускорение частицы. Поэтому находим:

_и ^с _(7V)

_■(-■И

Зависимость этих частот от энергии такая же, как и в (77,3), но коэффициент иной.

В произведенном (для обоих случаев (77,2) и (77,4)) иссле­довании подразумевалось, что полная потеря энергии частицей при ее прохождении через поле относительно мала. Покажем теперь, что к первому из рассмотренных случаев приводится также вопрос об излучении ультрарелятивистской частицей, пол­ная потеря энергии которой сравнима с ее первоначальной энергией.

Потерю энергии частицей в поле можно определить как ра­боту силы лоренцева трения. Работа силы (76,4) на пути ~а есть, по порядку величины,

af ~

Для того чтобы она оказалась сравнимой с полной энергией частицы /nc²/V 1 ~ v²!c^z> поле должно существовать на расстоя- ниях '

т³с⁶ Г, v²" ^а~ ~eW Л/ ~~с^г'

Но тогда автоматически соблюдается условие (77,2):

„ т³с^в I. V² „ . ,

aeF ~ -рр- Д/ 1 - > тс³,

поскольку поле F во всяком случае должно удовлетворять усло­вию (76,5), без которого вообще не может применяться обычная электродинамика.

Задачи