§ 76. Торможение излучением в релятивистском случае

Выведем релятивистское выражение для торможения излу­чением (для одного заряда), применимое и при движении со скоростями порядка скорости света. Эта сила будет теперь 4-век-тором g^l, которым надо дополнить уравнение движения заряда, написанное в четырехмерном виде:

"^c-£r = f Ал + Я¹. (76,1)

Для определения g¹ заметим, что при v <С с его три про­странственные компоненты должны перейти в компоненты век­тора f/c (75,8). Легко видеть, что этим свойством обладает 2е² d²u^l

4-вектор -g^- -jp-. Он, однако, не удовлетворяет тождеству g^lm = 0, которое имеет место для компонент всякого 4-вектора силы. Для того чтобы удовлетворить этому условию, надо при­бавить к написанному выражению некоторый дополнительный 4-вектор, составленный из 4-скорости ы' и ее производных. Три пространственные компоненты этого вектора должны обращать­ся в предельном случае v = 0 в нуль так, чтобы не изменить правильного значения f, которое уже дается выражением 2е² d²u^l

~3^~"^~- Этим свойством обладает 4-вектор и¹, и потому иско­мый дополнительный член должен иметь вид аи'. Скаляр а надо выбрать так, чтобы удовлетворить соотношению £'«<■ = 0. В результате находим:

, 2е² ( d²u^l . . d²u_b\

Полученную формулу можно переписать в другом виде, вы­разив согласно уравнениям движения производные cPu'/ds² че­рез тензор действующего на частицу внешнего электромагнит­ного поля:

Du1 е cik d2ul е dFik I , е2 с1кв I

ds тс* ds mtr дх¹ тс*

При подстановке надо иметь в виду, что произведение антисим­метричного по индексам i, k тензора dF'^h/dx^l на симметричный тензор UiUk дает нуль. Итак,

1 __ 2е* д£2_ л _j£__Kilp ..к | 2е* /р _и¹\(Р^кти \„¹ 3mc° дх¹ 3m V 3nr<r

2Es dFik „ „I 2e* вц r tik _, 2e* IV , д, pkm„ ) ц1

(76,3)

Интеграл от 4-силы g', взятый по мировой линии движения заряда, пролетающего через заданное поле, должен совпасть (с обратным знаком) с полным излучением зарядом 4-импульса АР' (подобно тому как среднее значение работы силы f в нере­лятивистском случае совпадает с интенсивностью дипольного излучения — см. (75,6)). Легко убедиться в том, что это действи­тельно так. Первый член в (76,2) при интегрировании обра­щается в нуль, поскольку на бесконечности частица не имеет ускорения, т. е. du'/ds = 0. Второй член интегрируем по частям и получаем:

Г , 2е²' Г , . d²u_b , 2е² С du. du^k , ,

что в точности совпадает с (73,4).

Когда скорость частицы приближается к скорости света, «з пространственных компонентах 4-вектора (76,3) наиболее быстро возрастает часть, происходящая от члена, содержащего тройные произведения компонент 4-скорости. Сохраняя поэтому лишь этот член в (76,3) и учитывая связь (9,18) между про-.

странственными компонентами 4-вектора g' и трехмерной силой f, находим для последней:

где п — единичный вектор в направлении v. Следовательно, в этом случае сила f направлена против направления скорости частицы; выбирая последнее в качестве оси х и раскрывая че­тырехмерные выражения, получим:

2в< _{Е_д-Н_{г? + {}Е_г+Н_у? I*— 3mV ^_ ^K,0,V

с²

(везде, за исключением знаменателя, положено v = с). Мы ви­дим, что для ультрарелятивистской частицы сила торможения пропорциональна квадрату ее энергии.

Обратим внимание на следующее интересное обстоятельство. В предыдущем параграфе было показано, что полученные вы­ражения для торможения излучением применимы лишь в таких полях, величина которых в системе покоя частицы (система Ко), мала по сравнению с т^гс⁴/е³. Пусть F есть порядок величины внешнего поля в системе отсчета К, в которой частица движется со скоростью у. Тогда в системе Ко поле имеет порядок вели­чины FJVl — v²/c² (см. формулы преобразования в § 24). По­этому F должно удовлетворять условию

^e'^F <1. (76,5)

т'с

Между тем, отношение силы торможения (76,4) к внешней силе [(~eF) по порядку величины есть

_-О--?)"

и мы видим, что соблюдение условия (76,5) не препятствует тому, что сила торможения может оказаться (при достаточно большой энергии частицы) большой по сравнению с обычной лоренцевой силой, действующей на заряд в. электромагнитном поле¹). Таким образом, для ультрарелятивистской частицы мо-

') Подчеркнем, что этот результат, разумеется, ни в какой степени не противоречит произведенному выше выводу релятивистского выражения для

4-силы g', предполагавшему ее «малость» по сравнению с 4-силой —F^iku_k.

Достаточно соблюдения условия малости компонент одного 4-вектора по сравнению с другим хотя бы в одной системе отсчета; в силу релятивист­ской инвариантности получающиеся на основании такого предположения че­тырехмерные формулы будут автоматически справедливы и во всякой дру­гой системе отсчета.

жет иметь место случаи, когда торможение излучением является основной действующей на нее силой.

В этом случае потерю энергии (кинетической) частицей на единице длины ее пути можно считать равной одной только силе торможения f_x; имея в виду, что последняя пропорциональна квадрату энергии частицы, напишем:

где посредством k(x) обозначен зависящий от координаты х коэффициент, выражающийся согласно (76,4) через поперечные компоненты поля. Интегрируя это дифференциальное уравнение, найдем:

x

1

_=-k⁺ _\ ^k{x)dx_>

где «?о обозначает начальную энергию частицы (энергия при х-*—со). В частности, конечная энергия частицы <S\ (после пролета частицы через поле) определяется формулой

— ОО

Мы видим, что при (оо-*⁰⁰ конечная энергия <$\ стремится к постоянному, не зависящему от So пределу (Я. Я. Померанчук, 1939). Отсюда следует, что после пролета через поле энергия частицы не может превышать значения &_кр, определяемого ра­венством

+ 0О

\ k(x)dx

—оо

или, подставляя выражение для k(x),

-f-oo

1

^{= t£v{-&)2 J [(e}_y^-H_z^{f + (e}_z ^{+ H}_y^{Y]dx. (76,6)}

'кр

Задачи