2. Определить направления, в которых обраща­ется в нуль интенсивность излучения движущейся частицы.

sin а,

Решение. Из геометрического построения (рис. 15) находим, что искомые направления п ле­жат в плоскости, проходящей через v и w, и обра­зуют с направлением w угол %, определяющийся из соотношения

V

sin %■■

где а — угол между v и w,

3. Определить интенсивность излучения заряжен- рИс- 15 ной частицей, стационарно движущейся в поле цир-

кулярно-поляризованной плоской электромагнитной волны.

Решение. Согласно результатам задачи 3 § 48 частина движется по окружности, причем ее скорость в каждый момент времени параллельна полю Н и перпендикулярна полю Е. Ее кинетическая энергия

■ = с Vp² + fn²c² — су

(обозначения из указанной задачи), ность излучения:

1 -

2е* Е²

Зт²с³

По формуле (73,7) находим интенсив-

га^², Зт²е³

4. То же в поле линейно поляризованной волны.

Решение. Согласно результатам задачи 2 § 48 движение происходит в плоскости ху, проходящей через направление распространения волны (ось *) и направление поля Е (ось у); поле Н направлено по оси г (при-

') При v ~ с отклонение на заметный угол может иметь место лишь при прицельных расстояниях р ~ e²/mt², которые вообще не допускают клас­сического рассмотрения.

чем Н_г = £»)• По (73,7) находим:

2е⁴Е² V' с ) ~~ З.т'с³ v² '

¹ с²

Усреднение по периоду движения, задаваемого полученным в указанной задаче параметрическим представлением, приводит к результату

' = _Чт2_гз L 8 V тс© ) \

§ 74. Магнито-тормозное излучение

Рассмотрим излучение заряда, движущегося с произвольной скоростью по окружности в постоянном однородном магнитном поле; такое излучение называют магнито-тормозным.

v еН „ /, v

г =

Радиус орбиты г и циклическая частота движения (Он выра­жаются через напряженность поля Н и скорость частицы v фор­мулами (см. § 21)

2

' *" (74,1)

еН

Полная интенсивность

/=-

излучения по всем направлениям определяется по формуле (73,7), в которой надо положить Е = 0 и Н JLv:

2е⁴#²о²

3m²C^!

^(74,2)

_О-*-)

Мы видим, что полная интенсивность пропорциональна квадрату импульса частицы.

Если же мы интересуемся угловым распределением излучения, то надо воспользоваться формулой (73,11). Рис.16

Интерес представляет интенсивность,

усредненная по периоду движения. Соответственно этому бу­дем интегрировать в (73,11) по времени обращения частицы по окружности и разделим результат на величину периода Т = = 2п/в>н.

Выберем плоскость орбиты в качестве плоскости ху (начало координат — в центре окружности), а плоскость yz проводим через направление излучения к (рис. 16). Магнитное поле будет направлено в отрицательном направлении оси z (изображенное на рис. 16 направление движения частицы отвечает положи­тельному заряду е). Пусть, далее, 9 — угол между направлением излучения к и осью у, а <р = сон/ — угол между радиус-вектором частицы и осью х. Тогда косинус угла между направлением к и скоростью v равен cos 6 cos ф (вектор v лежит в плоскости ху и в каждый момент времени перпендикулярен к радиус-вектору частицы). Ускорение частицы w выражаем через поле Н и ско­рость v согласно уравнению движения (см. (21,1)):

После простого вычисления получим:

^rf/_{=^'-7 , . V У} ^d4>

*» И COS 6 COS ф1

(74,3)

(интегрирование по времени заменено интегрированием по dq> = = со_нЛ). Процесс интегрирования элементарен, хотя выкладки довольно громоздки. В результате получается следующая фор­мула:

«w(i~g.) [₂-.„.е-^.(_{1 +} ^).^е]

^{~"° — (■-£-■•)" "'}

Отношение интенсивностей излучения под угпом 8 = я/2 (перпендикулярно к плоскости орбиты) и под углом 0 = 0 (в плоскости орбиты) равно

(«•//*»„ _ ^{4 8}7Г^_{> (ад}

^(d//do)„_{/2 8}^(l-4-)5

При у->0 это отношение стремится к 1/2, но при скоростях, близких к скорости света, оно становится очень большим. Мы вернемся еще к этому вопросу ниже.

Далее, рассмотрим спектральное распределение излучения. Поскольку движение заряда периодично, то речь идет о разло­жении в ряд Фурье. Вычисление удобно начать с векторного потенциала. Для его компоненты Фурье имеем формулу (ср. .(66,12))

e^ikR* L

А„ = е (J) ехр {/ (as_Hnt — kr)} efr,

где интегрирование производится вдоль траектории частицы (окружности), Для координат частицы имеем х = г cos шя^ у = г sin (unt. В качестве переменной интегрирования выбираем угол <р = шяг. Замечая, что

кг = kr cos Э sin ф = cos 8 sin ф

(k = na>H/c = nv/cr), находим для компоненты Фурье ^-состав­ляющей векторного потенциала

2л _о

ev ,_ln Г М(ф—cos й sinф) .

о

С таким интегралом нам приходилось уже иметь дело в § 70. Он выражается через производную от функции Бесселя:

4_и = -т£^(^созе). (74,6)

Аналогичным образом вычисляется А_уп:

Компонента же вдоль оси г, очевидно, вообще отсутствует.

По формулам § 66 имеем для интенсивности излучения с ча­стотой а — гт_н в элемент телесного угла do:

^dln—hWRldo = ~\ [kA„] |» Щ do.

Замечая, что

I [Akj р = A\k² + A\k² sin² 9,

и подставляя выражения (74,6—7), получим для интенсивности излучения следующую формулу (G. A. Schott, 1912):

^{" ОТ 0 " Й И • 1 (~ СН + 7 Г; cosO)] .о.}

(74,8)

Для определения полной по всем направлениям интенсив­ности излучения с частотой <о = п<а_н это выражение должно быть проинтегрировано по всем углам. Интегрирование, однако, не может быть произведено в конечном виде. Посредством ряда преобразований, использующих некоторые соотношения теории функций Бесселя, искомый интеграл может быть приведен к следующему виду:

via

2е*Н²

(74,9)

Рассмотрим более подробно ультрарелятивистский случай, когда скорость движения частицы близка к скорости света.

Положив в числителе формулы (74,2) v = с, найдем, что полная интенсивность магнито-тормозного излучения в ультра­релятивистском случае пропорциональна квадрату энергии ча­стицы $\

Угловое распределение излучения в этом случае крайне ани­зотропно. Оно сосредоточено в основном вблизи плоскости ор­биты. Угловую ширину ДО, в которой заключена основная часть

излучения, легко оценить из условия 1 — ■^2-cos^i:6~ 1 —

Очевидно, что

Д9~д/1-£=^- (74,11)

(этот результат находится, конечно, в соответствии с рассмотрен­ным в предыдущем параграфе угловым распределением мгно­венной интенсивности, см. (73,12)')).

Специфическим характером обладает в ультрарелятивист­ском случае также и спектральное распределение излучения (Л. А. Арцимович и И. Я. Померанчук, 1945).

Мы увидим ниже, что в этом случае основную роль в излу­чении играют частоты с очень большими п. В связи с этим можно воспользоваться асимптотической формулой (70.9), со­гласно которой имеем:

/_2П(2«1)-7^Ш-Ф["^2/3(1-^)]- (74,12)

Подставив в (74,9), получим следующую формулу для спек­трального распределения излучения при больших значениях га ²)s

') Не смешивать, однако, угол 9 в этом параграфе с углом 9 между п и v в § 73!

²) При подстановке один из пределов интеграла W¹') заменен, с тре­буемой точностью, на бесконечность, и везде, где возможно, положено v — с. Хотя в интеграле в (74,9) фигурируют также и не близкие к 1 зна­чения 1, тем не менее использование формулы (74,12) допустимо, поскольку интеграл быстро сходится на нижнем пределе.

'■-•^SriT Vi[-®'(»)-l[ «>«.)*.], (74.13) «—»(*)'■

При н->0 выражение в квадратных скобках стремится к по­стоянному пределу — Ф'(0) = 0,4587 ...'). Поэтому при u< 1 имеем:

^{/.«0Дй££(^)'««<>. 1«««Ш3. (74,14)}

При и 1 можно воспользоваться известным асимптотиче­ским выражением функции Эйри (см. примечание на стр. 201^ и получить:

^{'.=^(^Г-[-!"(^Л->Ш*.<-..}₆⁾

т. е. интенсивность экспоненциально падает при очень боль­ших п.

Спектральное распределение имеет, следовательно, макси­мум при п ~ (tW/mc²)³, и основная часть излучения сосредото­чена в области частот

«~»»Ш" = ^Ш^!. (74.16)

Эти частоты очень велики по сравнению с расстоянием а>н между двумя соседними из них. Другими словами, спектр излу­чения состоит из очень большого числа близко расположенных линий, т. е. имеет квазинепрерывный характер. Вместо функции распределения 1„ можно поэтому ввести распределение по не­прерывному ряду частот © = ясен, написав

dl = I_ndn = I_n-^-.

Для численных расчетов удобно выразить это распределение через функции Макдональда K_v²)- Путем несложных преобра-

*) Согласно определению функции Эйри имеем:

ОО ОО

_{Ф- (0) = - » U sin il чг = - -» „-'* .т.-* = -*0Ш>.}

л/я J 3 л/я -3^1/3 J 2 л/я

^г) Связь функций Эйри с функций Ki/s дается формулой (4) в приме­чании на стр. 201. При дальнейших преобразованиях используются рекур­рентные соотношения

A"_v_, (*) - K_y+i (х) = -^-K_v (х). 2< (х) = - (*) - tf_v+i (x), причем /(__v (x) = /C_v (x). В частности, легко найти, что

зований формулы (74,13) оно может быть представлено в виде

^^-SHt)' П1) = 1\Ы1)а-1, (74,-17)

где обозначено

Kmc² )

ЗеН ( If \2 2тс

(74,18)

На рис. 17 изображен график функции F(Q.

Наконец, несколько замечаний о случае, когда частица дви­жется не по плоской круговой орбите, а по винтовой траектории,

т. е. имеет продольную (по

отношению к полю) ско­рость У|| = V cos 1 (х — угол между Н и v). Частота вра­щательного движения дает­ся той же формулой (74,1), но вектор v описывает не круг, а поверхность конуса с осью вдоль Н и углом 2% при вершине. Полная ин­тенсивность излучения (по­нимаемая как полная по­теря энергии частицей в 1 с) будет отличаться от (74,2) заме­ной Н на Hj_ = Я sin х-

В ультрарелятивистском случае излучение сконцентрировано в направлениях вблизи образующих «конуса скоростей». Спек­тральное распределение и полная интенсивность (понимаемые в том же смысле) получаются из (74,17) и (74,10) заменой Н-*-Н±. Если же речь идет об интенсивности, наблюдаемой в указанных направлениях удаленным неподвижным наблюдате­лем, то в формулы надо ввести множитель, учитывающий общее приближение или удаление излучателя (движущейся по кружку частицы) от наблюдателя. Этот множитель дается отношением dt/dt_aa6, где dt_H36 — интервал времени между поступлением к наблюдателю сигналов, испускаемых источником с интервалом dl. Очевидно, что

dt_tt6 = dt(l — у0,созф).

где f} — угол между направлениями к и Н (последнее принято за положительное направление скорости 0|). В ультрареляти­вистском случае, когда направление к близко к направлению v, имеем г> « %. так что

dt

1

Задачи