1) Отличное от нуля значение Нп получилось бы лишь при учете членов высшего порядка по а//?0-

En = -^5- nd, Hn = 0. (2)

Подставив (2) и (67,6) в (1), получимз dt

Наконец, написав подынтегральное выражение в виде е^уП^йуП^А^ и усреднив по направлениям п, найдем окончательно:

Отметим, что для линейного осциллятора (d = d₀ cos Ы с вещественной амплитудой do) выражение (3) обращается в нуль: потери момента при излучении не происходит.

§ 73. Излучение быстро движущегося заряда

Рассмотрим теперь заряженную частицу, движущуюся со ско-ростью не малой по сравнению со скоростью ввета.

Формулы § 67, выведенные в предположении v <С с, неприме­нимы к этому случаю непосредственно. Мы можем, однако, рас­сматривать частицу в той системе отсчета, в которой она в дан­ный момент покоится; в этой системе отсчета упомянутые фор­мулы, очевидно, применимы (обращаем внимание на то, что это возможно сделать лишь в случае одной движущейся частицы; для нескольких частиц не существует, вообще говоря, системы отсчета, в которой бы все они одновременно покоились).

Таким образом, в указанной системе отсчета частица излу­чает в течение времени dt энергию

d8 = ~w²dt (73,1)

(согласно формуле (67,9)), где w — ускорение частицы в этой же системе. Полный же излучаемый ею импульс в рассматри­ваемой системе отсчета равен нулю

dP = 0. (73,2)

Действительно, излучение импульса определяется как интеграл от плотности потока импульса в поле излучения по замкнутой поверхности, охватывающей частицу. Но в силу свойств сим­метрии дипольного излучения импульсы, уносимые в противо­положных направлениях, одинаковы по величине и противопо­ложны по направлению; поэтому указанный интеграл обра­щается тождественно в нуль.

Для перехода к произвольной системе отсчета перепишем формулы (73,1) и (73,2) в четырехмерном виде. Легко видеть, что «излучение 4-импульса» dP^l должно быть записано как

2е⁸ du^k du_b , , 2е² du^k du_t ,

^dpi--^-dT-dr^dx---bo--dT-4r^uds' (⁷³-³)

Действительно, в системе отсчета, в которой частица покоится, пространственные компоненты 4-скорости и' равны нулю, а du^k du. w²

—ds~ ⁼ —с^5-' ^П0ЭТ0МУ пространственные компоненты dP^l

обращаются в нуль, а временная дает равенство (73,1).

Полное излучение 4-импульса за время пролета частицы через данное электромагнитное поле равно интегралу от выра­жения (73,3), т. е.

, 2е² Г du^h du_y ,

*^pt = -!ic-)-dT-dr^dxl- <⁷³'⁴>

Перепишем эту формулу в другом виде, выразив 4-ускорение du'/ds через тензор внешнего электромагнитного поля с по­мощью уравнений движения (23,4):

ь. I

ds

Мы получим тогда

ДР' =

l 2е*

Зт²с⁵

^{FuiSHF^uJdx'. (73,5)

Временная компонента уравнения (73,4) или (73,5) дает пол­ное излучение энергии AS. Подставляя для четырехмерных ве­личин их выражения через трехмерные величины, получим:

₂ г т^г— з Д*~£г \ ~ Jrrdt (73,6)

(w=v — ускорение частицы), или, через внешние электриче­ское и магнитное поля:

⁰⁰ f 1 "12 1 А$ = \ Idt, 1= • (73,7)

-«> С²

Выражения для полного излучения импульса отличаются лиш­ним множителем v под знаком интеграла.

Из формулы (73,7) видно, что при скоростях, близких к ско­рости света, полное излучение энергии в единицу времени зави­сит от скорости в основном как (1 — v²/c²)-\ т. е. пропорцио­нально квадрату энергии движущейся частицы. Исключение представляет только движение в электрическом поле парад-лельно направлению поля. В этом случае множитель (1 — v²/c²), стоящий в знаменателе, сокращается с таким же множителем в числителе, и излучение оказывается не зависящим от энергии частицы.

Наконец, остановимся на вопросе об угловом распределении излучения быстро движущейся частицы. Для решения этой за­дачи удобно воспользоваться лиенар-вихертовским выражением для поля (63,8—9). На больших расстояниях мы должны со­хранить в нем только член с более низкой степенью 1/R (второй член в формуле (63,8)). Вводя единичный вектор п в направле­нии излучения (R = n./?), получим формулы

_Н(-тН]

('-■?)'

^E _{= 1W—' =^г-' "-=№. 073,8)}

где все величины в правых сторонах равенств берутся в запаз­дывающий момент времени f = t — R/c.

Интенсивность излучения в телесный угол do равна dl =

E²R²do. Раскрывая квадрат Е², найдем:

2 (nw) (vw)

(l-£)(nw)-

(73,9)

Если же мы хотим определить угловое распределение пол­ного излучения за все время движения заряда, то надо проин­тегрировать интенсивность по времени. При этом следует пом­нить, что интегрируемое выражение является функцией t'; по­этому надо писать

dt = jLdf = (1 _ JE1) de (73,10)

(см. (63,6)), после чего интегрирование производится непосред­ственно по dt'. Таким образом, имеем следующее выражение для полного излучения в элемент телесного угла do:

Uf.

_{»2 I 1 О fn™4 lvr,,\ w2 (' (11W)}²

_а^{^=-^}_а^{о\\-щ^т}

(73,11)

Как видно из (73,9), угловое распределение излучения в об­щем случае довольно сложно. В ультрарелятивистском случае (1—v/c < 1) оно обладает характерной особенностью, связан­ной с наличием высоких степеней разности 1—vn/c в знамена­телях различных членов этого выражения. Именно, интенсив­ность велика в узком интервале углов, в котором мала раз-»

S 731 ИЗЛУЧЕНИЕ БЫСТРО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА 259

ность 1 —vn/c. Обозначив посредством 0 малый угол между п и v, имеем:

эта разность мала (~ 1 -—v/c) при 6 ~ У1 — v/c или, что то же,

^е~лЛЧ?- ^(73,12)

Таким образом, ультрарелятивистская частица излучает в ос­новном в направлении своего движения в интервал углов (73,12) вокруг направления скорости.

Укажем также, что при произвольных скорости и ускорении частицы всегда имеются такие два направления, в которых ин­тенсивность излучения обращается в нуль. Это те направления, в которых вектор n — v/c параллелен вектору w и потому поле (73,8) обращается в нуль (см. также задачу 2 в конце пара­графа).

Наконец, выпишем более простые формулы, в которые пере­ходит (73,9) в двух частных случаях.

Если скорость и ускорение частицы параллельны, то

[wn]

и интенсивность

^dI=!^r J—-v ^d0- <⁷³'¹³>

Она, естественно, симметрична вокруг совместного направления v и w и обращается в нуль в направлениях по (0 = 0) и против (0 = я) скорости. В ультрарелятивистском случае интенсивность как функция от 9 имеет резкий двойной максимум в области (73,12) с «провалом» до нуля при 0 = 0.

Если же скорость и ускорение взаимно перпендикулярны, то из (73,9) имеем:

dl

e²w² I 1

4яс³ |^ j v_

^1 —^j-^ sin² 0 cos² ф cos8^⁴ 0 "~ y°^0S^)⁶

do, (73,14)

где 0 — по-прежнему угол между п и v, а <p — азимутальный угол вектора п с плоскостью, проходящей через v и w. Эта ин­тенсивность симметрична лишь относительно плоскости vw и обращается в нуль в двух направлениях в этой плоскости, обра­зующих угол 0 = arccos(u/c) со скоростью.

Задачи

1. Определить полное излучение релятивистской частицы с зарядом е_и пролетающей на прицельном расстоянии р в кулоновом поле неподвижного центра (потенциал ф = е₂/г).

Решение. При пролете через поле релятивистская частица почти не отклоняется¹). Поэтому в (73,7) можно считать скорость v постоянной, со­ответственно чему поле в точке нахождения частицы

е₂г

е₂г

Е =

(р² + vЧ>)³'² '

причем х = vt, у = р. Произведя в (73,7) интегри­рование по времени, получим:

Д<§Г =

4 2

21^е 1^е2 4с² — V³

12т²с³р⁸о с² ~ ^v*