1. Определить потенциалы поля квадрупольного и магнитно-дипольного излучений на близких расстояниях.

Решение. Предполагая, для краткости, что дипольное излучение во-обще отсутствует, имеем (ср. вычисления, произведенные в § 71): ■

где разложение подынтегрального выражения производится по степеням г = Re — R. В противоположность тому, что мы делали в § 71, множитель \IR₀ нельзя выносить теперь из-под знака дифференцирования. Выносим по­следний из-под знака интеграла и переписываем формулу в тензорных обо­значениях:

^Аа~ с dXfi ) R_a ^dV

(Хр обозначают компоненты радиус-вектора R₀). Переходя от интеграла к сумме по зарядам, находим:

^Ла~ с дХ$ R~o *

Тем же способом, что и в § 71, это выражение разделяется на квадруполь-ную и магнитно-дипольную части. Соответствующие скалярные потенциалы вычисляются по векторному потенциалу подобно тому, как это сделано в тексте. В результате получаем для квадрупольного излучения:

1 а Д«& _ 1 a* o„_s

^Ла== 6с дХ$ R₀ • ^ф 6 дХ_адХ₀ Ro • и для магнитно-дипольного излучения:

~RT' ^ф

(все величины в правых сторонах равенства берутся, как обычно, в момент времени t' — t — Rale),

Напряженности поля магнитно-дипольного излучения:

„ 1 да . tit

Е == rot-рт—, Н = rot rot -р—.

Сравнивая с (72,3), (72,5), мы виднм, что Н и Е в магнитко-дипольном слу­чае выражаются через m так же, как соответственно Е и—Н выражаются через d в электрическом дипольном случае.

Спектральные компоненты потенциалов квадрупольного излучения;

°р dXf, Ro ' Ч> 6 дХ_адХ$ R_a '

Выражения для поля мы не выписываем здесь ввиду их громоздкости,

2. Найти скорость потери момента импульса системой зарядов при да-польном излучении ею электромагнитных волн.

Решен и е. Согласно (32,9) плотность потока момента электромагнит­ного поля дается пространственными компонентами 4-тензора х' T^ki — х*7**„ Переходя к трехмерным обозначениям, вводим трехмерный вектор момента

. с компонентами е_а$у М^^у; плотность его потока дается трехмерным тен­дером

где Оцй^¹— — трехмерный максвелловский тензор напряжений (а все индексы пишем внизу соответственно трехмерным обозначениям). Полный момент, - теряемый системой в единицу времени, равен потоку момента пом излучения через сферическую поверхность радиуса Rv-

•^jp- «= § «aftr*pO"yd«d df,

где df = Rc,do, а п —единичный вектор в направлении R₀. С тензором а_вц из (33,3) получим:

rfM R* Г

^{~dt 5) {[nEJ (nE) + fnH1 (nH)} do- M}

Применяя эту формулу к полю излучения на больших расстояниях от системы, нельзя, однако, ограничиться членами ~1//?₀: в этом приближении пЕ = пИ = 0, так что подынтегральное выражение обращается в нуль. Эти члены (даваемые (67,5—6)) достаточны лишь для вычисления множителей [пЕ] и [пН]; продольные же компоненты полей пЕ и пН возникают от членов ~ (в результате подынтегральное выражение в (1) становится ~ l/^ft, н расстояние /?о, как и следовало, выпадает из ответа), В дипольном приближении длила волны Х>а, и надо различать члены, содержащие (по сравнению с (67,5—6)) лишний множитель ~X/R_e или ~а /?/₀; доста­точно оставить лишь первые. Именно эти члены можно получить яз (72,3) и (72,5); вычисление с точностью до второго порядка по 1//?о дает¹):