1. Вычислить полное эффективное излучение при рассеянии потока за­ряженных частиц одинаковыми с ними частицами.

Решение. Дипольное (а также магнитно-дипольное) излучение при столкновении одинаковых частиц отсутствует, так что надо вычислить квад-рупольное излучение. Тензор квадрупольного момента системы из двух оди­наковых частиц (относительно их общего центра инерции) равен

#ав = у (3*_аЖ($ - г*б_ар),

где a_u — компоненты радиус-вектора г между частицами. После трехкратного дифференцирования 0_ар выражаем первую, вторую и третью производные по времени от координатх_а через относительную скорость частиц v_a согласно

* =_я и* — — i ^е*^Ха — х -г' Vor-bWr •*а °о» i"a 5^ *о Гз■ п ^ха —^е Л ,

Укажем удобный способ усреднения произведений компонент единич- ного вектора. Тензор n_an_p, будучи симметричным, может выражаться толь- ко через единичный тензор 6_ар. Учитывая также, что его след равен 1, инеем: ^

Среднее же значение произведения четырех компонент равно

Правая часть составляется из единичных тензоров как тензор четвертого ранга, симметричный по всем индексам; общий коэффициент определяется затем путем свертывания по двум парам индексов, которое должно дать в результате 1.

где v_r = vr/r — радиальная компонента скорости (второе равенство ест» уравнение движения заряда, а третье получается дифференцированием вто­рого). Вычисление приводит к следующему выражению для интенсивности!

(о* = и². + и²); v и выражаем через г с помощью равенств

2 2 4е² Р»0

⁰ тг ' ^ф г

Интегрирование по времени заменяем интегрированием по dr подобно тому, как это было сделано в задаче 3 к § 70, т. е. написав

dr dr

dt--

^Vr _л/ш e²"o ^² У°о—?—ИГ

В двойном интеграле (по dr и dp) производим сначала интегрирование ао dp, я затем по dr. В результате вычислений получается следующий результат:

4я e*v\

9 тс

2. Найти силу отдачи, действующую на излучающую систему частиц, со-вершающих стационарное финитное движение.

Решение. Искомая сила F вычисляется как потеря импульса системе! в единицу времени, т.е. как поток импульса, уносимого испускаемыми си­стемой электромагнитными волнами:

интегрирование производится по сферической поверхности большого радиу­са Ло- Тензор напряжений дается формулой (33,3), а поле Е и Н берем из (71,4). Ввиду поперечности этих полей интеграл сводится к

Усреднение по направлениям п производится с помощью формул, приведен­ных в примечании на стр. 250 (произведения же нечетного числа компонент и обращаются в нуль). В результате получим'):

^,-^{l57^B°p^Jp⁺3^l[iiii,1»}-

§ 72. Поле излучения на близких расстояниях

Формулы дипольного излучения были выведены нами для поля на расстояниях, больших по сравнению с длиной волны (и тем более по сравнению с размерами излучающей системы),

') Отметим, что эта сила — более высокого порядка по 1/с, чем лорен-цевы силы трения (§75). Последние не дают вклада в суммарную силу отдачи: сумма сил (75,5), действующих на частицы электрически нейтраль­ной системы, равна нулю.

В этом параграфе мы будем по-прежнему считать, что длина волны велика по сравнению с размерами системы, но будем рассматривать поле на расстояниях, хотя и больших по срав­нению с последними, но сравнимыми с длиной волны. Формула (67,4) для векторного потенциала

A = ^d (72,1)

по-прежнему остается в силе, так как для ее вывода было ис­пользовано 'лишь, что R_Q велико по сравнению с размерами си­стемы. Однако поле нельзя рассматривать теперь, даже в не­больших участках, как плоскую волну. Поэтому формулы (67,5) и (67,6) для электрического и магнитного полей уже не­применимы, и для их вычисления надо определить предвари­тельно как А, так и <р.

Формулу для скалярного потенциала можно получить из вы­ражения для А непосредственно с помощью общего условия (62,1)

dlvA + l^-O.

наложенного на потенциалы. Подставляя в него (72,1) и инте­грируя по времени, найдем:

<p = -div^. (72,2)

Постоянную интегрирования (произвольную функцию коорди­нат) мы не пишем, так как нас интересует только переменная часть потенциала. Напомним, что в формуле (72,2), как и в (72,1), значение d должно браться в момент времени V— = t-R₀/c^l).

Теперь уже не представляет труда вычислить электрическое и магнитное поле. По обычным формулам, связывающим Е и Н с потенциалами, находим:

^{H=4rot4- (72-3)}

Е = grad div (72,4)

') Иногда вводят так называемый вектор Герца, определяемый как Тогда

А = - — Z, ф = div Z.

Выражение для Е можно переписать в другом виде, заметив, чтоо>/#о> ^{как и} всякая функция координат и времени вида

удовлетворяет волновому уравнению

1 a² d _ d

с² dt² R₀ ^Д R_Q • Воспользовавшись также известной формулой rot rot а = grad div а — Да,

найдем, что

E = rotrot-|-. (72,5)

Полученные формулы определяют поле на расстояниях, срав­нимых с длиной волны. Во всех этих формулах нельзя, разу­меется, выносить l/R_a из-под знака дифференцирования по ко­ординатам, так как отношение членов, содержащих l/R^, к чле­нам с l/Ro как раз порядка величины K/R₀.

Наконец, напишем формулы для фурье-компонент поля. Для определения H„> подставляем в формулу (72,3) вместо Н и d их монохроматические составляющие, т. е. соответственно Н_(йе~^ш и Л_ше~^ш. Надо, однако, помнить, что величины в правой сто­роне равенств (72,1—5) берутся в момент времени t' = t — Ro/c. Поэтому мы должны подставить для d выражение

Производя подстановку и сокращая на е~^ш, найдем:

_На ^{- - i}_k ^{rot (d. v)=4d"V VJ •}

или, произведя дифференцирование,

Н. = ik ld.ii] - в'** (72,6)

где п — единичный вектор в направлении R₀. Аналогичным образом из (72,4) найдем:

JkR„ JkRo

E„ = ft²d_(B^_r+(d_ev)V

или, произведя дифференцирование,

(72,7)

На расстояниях, больших по сравнению с длиной волны '{kRo^ 1), в формулах (72,6—7) можно пренебречь членами с 1/RI и 1/RI, и мы возвращаемся к полю «волновой зоны»;

Е_а = ~ [п Id_an]] е'**«, Н_ш = - -g- [d_Mn] е'**.

На расстояниях же, малых по сравнению с длиной волны '{kR₀ <С 1), пренебрегаем членами с l/R₀ и и полагаем

£««о fa 1; Т0ГДа

^Ей) = -^з {3n(d_ffln) — dj, "о

что соответствует статическому дипольному электрическому полю ('§ 40); магнитное поле в этом приближении, естественно, отсутствует.

Задачи