§ 71. Квадрупольное и магнитно-дипольное излучения

Рассмотрим теперь излучение, обусловленное следующими членами разложения векторного потенциала по степеням отно­шения а/К размеров системы к длине волны, по-прежнему пред­полагающегося малым. Хотя эти члены, вообще говоря, малы по сравнению с первым (дипольным), они существенны в тех слу­чаях, когда дипольный момент системы равен нулю, так что дипольное излучение вообще отсутствует.

Разлагая в (66,2)

подынтегральное выражение по степеням rn/с и сохраняя те­перь два первых члена, находим:

§71]

КВАДРУПОЛЬНОЕ И МАГНИТНО-ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЯ

249

Подставляя сюда j = pv и переходя к точечным зарядам, по­лучим:

Здесь и ниже (как и в § 67) мы для краткость опускаем индекс f у всех величин в правой стороне равенства. Во втором слагаемом пишем:

v(rn) = 4"оТ ^r (^пг) ⁺ Т^У(^nr)^—Т^г(nvHj Jf ^г(^nr) + Тfl^rv]

Мы находим тогда для А выражение

^{где d — дипольный момент системы, а ш = ^ е [rv] — ее}

магнитный момент. Для дальнейшего преобразования заметим, что к А можно прибавить, не изменяя поля, любой вектор, про­порциональный п, — в силу формул (66,3) Е и Н при этом не изменятся. Поэтому вместо (71,2) с тем же правом можно на­писать:

^{А=~к+-otW-S £е t3r («r) - nr2i+-щ- [™п]-}

Но стоящее под знаком d²/dt² выражение есть произведение, п_рД,р, вектора п на тензор квадрупольного момента £)_ар =

= X е(3х_ах₍₁ — б_арг²) (см. § 41). Вводя вектор D с компонентами

D_a = D_agrtB, находим окончательное выражение для векторного потенциала:

^{А = 4+<^6 + тк-^п1- (71.3)}

Зная А, мы можем теперь определить поля Н и Ее помощью общих формул (66,3):

Н = ^ { [dnj + JL [Dn] + [[mn] n]},

E = -~ {[[dn] n] 4- JL [[Dn] n] + [nm]}. ^(?M)

Интенсивность dl излучения в телесный угол do определяется согласно (66,6). Мы определим здесь полное излучение, т. е. энергию, излучаемую системой в единицу времени по всем на­правлениям. Для этого усредним dl по всем направлениям п; полное излучение равно этому среднему, умноженному на 4л. При усреднении квадрата магнитного поля все взаимные произ­ведения первого, второго и третьего членов в Н исчезают, так что остаются только средние квадраты каждого из них. Неслож­ные вычисления ') дают в результате

^{/ =} F* + W^+F *»²- <⁷¹'⁵>

Таким образом, полное излучение состоит из трех независимых частей; они называются соответственно дипольным, квадруполь-ным и магнитно-дипольным излучениями.

Отметим, что магнитно-дипольное излучение фактически во многих случаях отсутствует. Так, оно отсутствует у системы, в которой отношение заряда к массе у всех движущихся частиц одинаково (в этом случае отсутствует и дипольное излучение, как уже было отмечено в § 67). Действительно, у такой си­стемы магнитный момент пропорционален механическому мо­менту импульса (см. § 44), и потому, в силу закона сохранения последнего, ю = 0. По той же причине (см. задачу к § 44) маг-нитно-дипольное излучение отсутствует у всякой системы, со­стоящей всего из двух частиц (чего, однако, нельзя сказать о дипольном излучении).

Задачи