1, Определить полную среднюю интенсивность излучения при эллипти­ческом движении двух притягивающихся зарядов.

Решение. С выражением (70,1) для дипольного момента имеем для полной интенсивности излучения:

, . 2и^а (. е, е» У ••, 2а^а / е, е₂. \» 1 причем мы воспользовались уравнением движения цг — —аг/г³. Коорди­нату г выражаем через <р согласно уравнению орбиты (70,2), а интегрирова­ние по времени с помощью равенства dt = \ir²d<p/M заменяем интегрирова­нием по углу ф (от 0 до 2л). В результате находим для средней интенсив­ности:

о

2. Определить полное излучение bJ5 при столкновении двух заряженных частиц.

Решение. В случае притяжения траекторией является гипербола (70,11), а в случае отталкивания — (70,23). Асимптоты гиперболы образуют с ее осью угол <р₀, определяемый из ±cos(po = 1/е, а угол отклонения частиц (в системе координат, в которой центр инерции покоится) есть % — |я—2ф₀|. Вычисление производится так же, как в. задаче 1 (интеграл по d<$ берется в пределах между —ф₀ и ф₀). В результате находим в случае притяжения:

в случае отталкивания:

В обоих случаях под % понимается положительный угол, определяемый из соотношения

ctg-o- = -

а

При лобовом столкновении отталкивающихся зарядов переход к пределу Р -»■ 0, х ^л дает:

45с'а \rrti гпг) '

3. Определить полное эффективное излучение при рассеянии потока ча­стиц в кулоновом поле отталкивания. Решение. Искомая величина есть

0 —оо 0 —оо

Интегрирование по времени заменяем интегрированием по dr вдоль траек­тории заряда, написав dt = dr/v_r, где радиальная скорость v, == f выра­жается через г по формуле

_{*-Ут['-£-Ч-лЛ-£}

2а

Интегрирование по dr производится в пределах от бесконечности до бли­жайшего к центру расстояния г_в = г₀(р) (точка, в которой v_r = 0), и затем от г_л снова к бесконечности; это сводится к удвоенному интегралу от г₀ до оо. Вычисление двойного интеграла удобно производить, переменив по­рядок интегрирования — сначала до dp, а затем по dr. В результате по­лучим:

\2

~~ 9 с³ V т, т% )

4. Определить угловое распределение полного излучения при пролете одного заряда мимо другого, если скорость настолько велика (хотя и мала по сравнению со скоростью света), что отклонение от прямолинейности дви­жения можно считать малым.

Решение. Угол отклонения мал, если кинетическая энергия u,»^s/2 ве­лика по сравнению с потенциальной энергией, порядок величины которой есть a/p(pf² » a/p). Выберем плоскость движения в качестве плоскости ху с началом координат в центре инерции и с осью х вдоль направления ско­рости. В первом приближении траектория есть прямая х == vt, у = р. В сле­дующем приближении уравнения движения дают:

. а х avt .. ay ap

V^х JJ 7" ~р~' " ~r* ~ ^да "r³*"'

причем

r = Vx² + y² « Vp² + v4².

С помощью формулы (67,7) имеем:

00

—оо

где п — единичный вектор в направлении do. Выражая подынтегральное вы­ражение через / и производя интегрирование, получим: