2) Применимость формул, однако, ограничена квантовым условием ма­лости йш по сравнению с полной кинетической энергией частицы.

0 (l-_Tcos6j

Вычисление интеграла приводит к результату¹):

_а8_а^—(-\п-^^-2] dco. (1)

При v <С с эта формула переходит в

2е*о*

что можно получить и непосредственно из (69,5).

§ 70. Излучение при кулоновом взаимодействии

В этом параграфе мы выведем для справочных целей ряд формул, относящихся к дипольному излучению системы из двух заряженных частиц; предполагается, что скорости частиц малы по сравнению со скоростью света.

Равномерное движение системы как целого (т. е. движение ее центра инерции) не представляет интереса, так как не при­водит к излучению; поэтому мы должны рассматривать только относительное движение частиц. Выберем начало координат в центре инерции. Тогда дипольный момент системы d = ein -f e₂v₂ напишется в виде

е,т₂ — е_гт, rrti + т%

где индексы 1 и 2 относятся к обеим частицам, г = ri — г₂ есть

радиус-вектор между ними, a u- = т^^%т₂ ~ приведенная масса.

Начнем с излучения, сопровождающего эллиптическое дви­жение двух притягивающихся по закону Кулона частиц. Как из­вестно из механики (см. I § 15), это движение может быть описано как движение частицы с массой р. по эллипсу, уравнение которого в полярных координатах имеет вид

14-ecos<p=: ^a<^I-^e'), (70,2)

где большая полуось а и эксцентриситет е равны

(70,3)

') Хотя условие (69,1) ввиду «мгновенности» процесса выполняется, как уже было указано, для всех частот, но получить полное излучение энергии путем интегрирования выражения (1) по йш нельзя, — интеграл расходится при больших частотах. Помимо нарушения условия классичности при боль­ших частотах, в данном случае причина расходимости лежит и в некоррект­ности самой постановки классической задачи, в которой частица имеет в на­чальный момент бесконечное ускорение.

Здесь 8 есть полная энергия частиц (без энергии покоя!), от­рицательная при финитном движении; М = р,г²ф — момент ко-

^{янчества движения; а — постоянная закона Кулона:}

a = |eie₂|.

Зависимость координат от времени может быть записана в виде параметрических уравнений

r = a(l-ecosi), t= д/-^ (S-esin I). (70,4)

Одному полному обороту по эллипсу соответствует изменение параметра | от нуля до 2я; период движения равен

Определим компоненты Фурье дипольного момента. Ввиду периодичности движения речь идет о разложении в ряд Фурье. Поскольку дипольный момент пропорционален радиус-вектору г, то задача сводится к вычислению компонент Фурье от коорди­нат х = г cos ф и у = г sin ф. Зависимость х и у от времени опре­деляется параметрическими уравнениями

х = a (cos I — е), y = a-y/l —в² sin £, ю₀/ = | — е sin g. (70,5)

Здесь введена частота

„ _ 2=т /~_ (2[ffl)³'²

»*-T-4tf

Вместо компонент Фурье от координат удобнее вычислять компоненты Фурье от скоростей, воспользовавшись тем, что х_п = = — m_Qnx_n, у_п = — ш₀пу_п. Имеем:

т

(й_ппТ у '

о

Но xdt = dx = — a singdg; переходя от интегрирования по dt к интегрированию по dg, имеем, таким образом:

2Л

*» ⁼ --5й-$ e'^ntt-^e,ta6)sin£dg.

о

Аналогичным образом находим:

2Л 2Я

^{у„ = i-aV}₂^{'-e2 5 ■* » cos £ d| = /a^~e2 J} _e^{<» «- .* »} _rf^§

о о

(при переходе от первого интеграла ко второму в подынтеграль­ном выражении пишем cos g=s= (cos| — —) +7"* ^тогД^а интеграл от первого члена берется и притом тождественно обращается в нуль). Наконец, воспользуемся известной формулой теории функций Бесселя

2Я я

_L J _et ini-x sm i) _{dl =} _L J _cos _ _{x sin} l)d% = J_a (x), (70,6)

0 0

где J_n(x)]—функция Бесселя целочисленного порядка п. В ре­зультате окончательно получаем следующие выражения для искомых компонент Фурье:

х_я = ±Гп(пе), y_n=^ia^l^ J_n(m) (70,7)

(штрих у функции Бесселя обозначает дифференцирование по ее аргументу).

Выражение для интенсивности монохроматических компо­нент излучения получается подстановкой х_п и у_а в формулу

(см. (€7,11)). Выразив при этом а и ©₀ через характеристики частиц, получим окончательно:

'.-•¥£(* -1У['»«+-т^ « М- <⁷⁰'⁸>

Выпишем, в частности, асимптотическую формулу для ин­тенсивности очень высоких гармоник (большие я) при движении по близкой к параболе орбите (е близко к 1). Для этого исполь­зуем асимптотическую формулу

л>1, 1—е<1,

где Ф — функция Эйри (определенная в примечании на стр. 201)')• Подстановка в (70,8) дает:

'.-^w (*-*)>-*•№(«-*]+

+ Ш^,'^ф,![(тУ<¹—*)]}• <⁷«°>

^!) При и > 1 в интеграле

я

/я (пе) — -jj- | cos 1» (I - с sin I)) dl о

основную роль играют малые £ (при не малых £ подынтегральное выраже­ние быстро осциллирует), Соответственно этому разлагаем аргумент коси-

Этот результат может быть выражен также и через функции Макдональда К_ч:

г 64 п}8^А /ei е₂ V f v-2 Гп ₂\'/Л I

+ 4,[f(¹-в²)^,/!]}(l-e²)^,

[(нужные для этого формулы приведены в примечаниях на стр. 201, 265).

Рассмотрим далее столкновение двух притягивающихся за­ряженных частиц. Их относительное движение описывается как движение частиц с массой и. по гиперболе

1+есозф= ^а(82~¹>, (70,11)

где

а

°~~ 2<Г '

(теперь &>0). Зависимость г от времени определяется пара­метрическими уравнениями

r = a(echg-l), r=/y/i^l(eshi-i)_f (70,13)

где параметр | пробегает значения от —оо до +оо. Для коор­динат х, у имеем:

* = a(e-ch£), у = а Уе^ПГ sh g. (70,14)

Вычисление компонент Фурье (речь идет теперь о разложе­нии в интеграл Фурье) ^производится в точности аналогично пре­дыдущему случаю. В результате получаем:

= Н<Р(Ы), _y._e-i2jgELtfg)(/ve). (70,15)

где Я^'— функция Ганкеля 1-го рода ранга iv и введено обо­значение

4 = —= = —- (70,16)

uyca по степеням £:

оо

^{/.(«)-i-J «.[.(1=^-6+^.)]^}

о

с учетом быстрой сходимости интеграла, верхний предел заменен на оо; член с |^? должен быть сохранен ввиду наличия в члене первого порядка малого коэффициента 1—е « (1 — в²)/2. Полученный интеграл очевидной подста­новкой приводится к виду (70.9).

'(v₀ — относительная скорость частиц на бесконечности; энергия 8 = Ц£>о/2). При вычислении использована известная формула

оо

^{J в**-** sh 6 dt = /яЯ«) (ix). (70,17)}

— оо

Подставляя (70,15) в формулу

4со V / е, е₂ V2.. .oil й\ do

j(cm. (67,10)), получим ^]):

(70,18)

Большой интерес представляет «эффективное излучение» при рассеянии пучка параллельно движущихся частиц (см. § 68). Для его вычисления умножаем d<&_№ на 2яр dp и интегрируем по всем р от нуля до бесконечности. Интегрирование по dp заме­няем интегрированием по de (в пределах от 1 до оо), воспользо­вавшись тем, что 2ярф = 2яа²е^е; это соотношение получается из определений (70,12), в которых момент М и энергия & свя­заны с прицельным расстоянием р и скоростью v_a посредством

M = p.pv₀, % = -j-. Получающийся интеграл берется с помощью формулы

■[*?+(£-04]-iK4).

где Z_p (z) — любое решение уравнения Бесселя порядка р²). Имея в виду, что при е->оо функция Ганкеля H$(ive) обра­щается в нуль, получим в результате следующую формулу:

Рассмотрим особо предельные- случаи малых и больших ча­стот. В интеграле

оо

') Напомним, что функция H$ (ive) чисто мнима, а ее производная

Н$ (ive) вещественна.

*) Эта формула является непосредственным следствием уравнения Бес­селя

^J _e^{t» (6-л Ъ) d% = inH}_ly ^{(/v), (70.20)}

определяющем функцию Ганкеля, существенна только та об­ласть значений переменной интегрирования |, в которой экспо­нента имеет порядок величины единицы. При малых частотах (v <С 1) существенна поэтому область больших 1. Но при боль-* ших | имеем sh £ >• |. Таким образом, приближенно

00

—оо

'Аналогичным образом найдем, что

tf<//(/v)«tf</>'(/v).

Воспользовавшись, наконец, известным из теории функций Бес­селя приближенным выражением (при малых х)

о ^v ' л ух

(у = е^с, где С — постоянная Эйлера; у =1,781 ...), получим следующее выражение для эффективного излучения при малых частотах:

^ ₌ J^(iL_iL)²_ln(MU _{прй 9<}Е±. ₍₇о,₂1)

ЗУцО' \т, т₂/ \ уа>а / а

Оно зависит от частоты логарифмически.

При больших частотах (v » 1) в интеграле (70,20) сущест­венны, напротив, малые \. Соответственно этому разлагаем эк­споненту подынтегрального выражения по степеням \ и имеем приближенно:

оо

Я">(«)~—1 $ехр(--^³)<*| =

—оо

--т» {)"«»(-*.*)<•}•.

Этот интеграл подстановкой iv%³/6 = r\ приводится к Г-функ-ции, и в результате получается

w»^G)"T(i>

Аналогичным образом найдем:

Наконец, воспользовавшись известной формулой теории Г-функ-ций

Г(ж)Г(1 -х) = -^—, ^v ' ^х ' sin пх

получим для эффективного излучения при больших частотахз

16яа² / е, в, \² , ц»„

^{^""rarlm ~t) d* ПРИ Ю>^Г' (70'22)}

т. е. выражение, не зависящее от частоты.

Перейдем теперь к тормозному излучению при столкновении двух отталкивающихся по закону U = а/г (а > 0) частиц. Дви­жение происходит по гиперболе

-l+ecos(p= *<«'-*> _; (70,23)

* = a(e + chl), «/ = aV?^ZrTshi, /=д^(_в8п& + |)

(70,24)

(a и e — из (70,12)). Все вычисления для этого случая непо­средственно приводятся к произведенным выше, так что нет необходимости производить их заново. Действительно, интеграл

оо

для компоненты Фурье координаты х подстановкой —|

приводится к такому же интегралу для случая притяжения, умноженному на —е-**; то же самое имеет место для у^.

Таким образом, выражения для компонент Фурье х<а, у_ф в случае отталкивания отличаются от соответствующих выра­жений для случая притяжения множителями er*". В формулах же для излучения появятся, следовательно, лишние множители g-2i«v уз частности, для малых частот получается прежняя фор­мула (70,21) (так как при v < 1 :e-^2av « 1). Для больших ча­стот эффективное излучение имеет вид

^dx_a ^{= "Tiririfl — Чехр( 3-)rf<0 ПРИ <°» — • (70,25)}

,Оно убывает экспоненциально с увеличением частоты. Задачи