2) Фактически обычно речь идет о дипольном моменте двух частиц — рассеиваемой и рассеивающей — относительно их общего центра инерции.

^{О —оо 0 —оо}

Второй член в (68,2) написан в таком виде, чтобы давать нуль при усреднении по всем направлениям, так что полное эффек­тивное излучение к = А/с³. Обратим внимание на то, что угло­вое распределение излучения симметрично относительно плоско­сти, проходящей через рассеивающий центр перпендикулярно к пучку — выражение (68,2) не меняется при замене в на я —6. Это свойство специфично для дипольного излучения и теряется при переходе к более высоким приближениям по v/c.

Интенсивность тормозного излучения можно разделить на две части: интенсивность излучения, поляризованного в пло­скости испускания, проходящей через ось х и направление п (назовем ее плоскостью ху), и интенсивность излучения, поля­ризованного в перпендикулярной плоскости хг.

Вектор электрического поля имеет направление вектора

[n [nd]] = n(nd)-d

(см. (67,6)). Компонента этого вектора в направлении, перпен­дикулярном к плоскости ху, есть — й_г, а проекция на плоскость ху равна | sin в - «Э^ — cos8-d,,| (последнюю удобнее определить по равной ей z-компоненте магнитного поля, имеющего направ­ление [dn]).

Возводя Е в квадрат и усредняя по всем направлениям век­тора d в плоскости yz, мы прежде всего видим, что произведение проекций поля на плоскость ху и перпендикулярно к ней обра­щается в нуль. Это значит, что интенсивность действительно мо­жет быть представлена в виде суммы двух независимых частей: интенсивностей излучения, поляризованного в двух взаимно перпендикулярных" плоскостях.

Интенсивность излучения с электрическим вектором, перпен­дикулярным к плоскости ху, определяется средним квадратом

от dl = y (d² — d_x). Для соответствующей части эффективного

излучения получим выражение

оо оо

^d*"=WT\ \ -^dt2"Р^rfP- <⁶⁸'⁴)

0 —oo

Отметим, что эта часть излучения оказывается изотропной по направлениям. Выписывать выражение для эффективного излу­чения с направлением электрического поля в плоскости ху нет необходимости, так как очевидно, что

d%„ -f dxl = dx_n.

Аналогичным образом можно получить выражение для угло­вого распределения эффективного излучения в определенном интервале частот:

^{**» = 2^г [А (со) + В (со) 3 cos;6 - l] -g-, (68,5)}

где

оо оо

^{Л Н = ^1 5 d»2irp ф, В (со) = 4 J (<£ - 3d*.) 2яр ф. (68,6)}

о *0

§ 69. Тормозное излучение малых частот

Рассмотрим низкочастотный «хвост» спектрального распре­деления тормозного излучения: область частот, малых по срав­нению с той частотой (обозначим ее со₀), в области которой со­средоточена основная часть излучения:

со < ©₀. (69,1)

При этом мы не будем предполагать скорости сталкивающихся частиц малыми по сравнению со скоростью света, как это де­лалось в предыдущем параграфе; следующие ниже формулы справедливы при произвольных скоростях. В нерелятивистском случае w₀ ~ 1/т, где т — порядок величины продолжительности столкновения; в ультрарелятивистском случае со<> пропорцио­нальна квадрату энергий излучающей частицы (см. ниже § 77), В интеграле

оо

^Н_ш^{= J He^dt}

— DO

поле излучения Н заметно отлично от нуля только в течение промежутка времени порядка 1/©₀- Поэтому при соблюдении условия (69,1) мы можем считать, что под интегралом ©/ <С 1, так что можно заменить е^ш единицей; тогда

Н_ш= \ Hdt.

—оо

Подставляя сюда Н = [An] /с и производя интегрирование по времени, получим:

Н_а = |[(А₂-А,)п1, (69,2)

где Аг — А] — изменение векторного потенциала аоля, создавае­мого сталкивающимися частицами, за время столкновения.

Полное излучение (с частотой со) за время столкновения по­лучится подстановкой (69,2) в (66,9):

dS_m « -jX- I(A₂ - A,) n]² do Оф. (69,3)

Для векторного потенциала можно воспользоваться его выраже­нием в форме Лиенара — Вихерта (66,4), и мы получим:

где vi и V2 — скорости частицы до и после рассеяния, а сумма берется по обеим сталкивающимся частицам. Обратим внимание на то, что коэффициент при da оказывается не зависящим от частоты. Другими словами, при малых частотах (условие (69,1)) спектральное распределение излучения не зависит от частоты, т. е. ^„иДйоетремится к постоянному пределу при ю-»-О¹).

Если скорости сталкивающихся частиц малы по сравнению со скоростью света, то (69,4) переходит в

й%ш = е [v₂ — v„ n])² do da>. (69,5)

Это выражение соответствует дипольному излучению, векторный потенциал которого дается формулой (67,4).

Интересный случай применения полученных формул пред­ставляет излучение, возникающее при испускании новой заря­женной частицы (например, при вылете р-частицы из ядра). При этом процесс надо рассматривать как мгновенное измене­ние скорости частицы — от нуля до ее заданного значения (ввиду симметрии формулы (69,5) по отношению к переста­новке Vi и v₂ возникающее в этом процессе излучение совпадает с излучением, которое сопровождало бы обратный процесс — мгновенную остановку частицы). Существенно, что поскольку «времяэ данного процесса т-»-0, то условию (69,1) фактически удовлетворяют все вообще частоты²).

Задача

Определить спектральное распределение полного излучения, возникаю­щего при испускании заряженной частицы, движущейся со скоростью v.

Решение. Согласно формуле (69,4) (в которой полагаем v₂ = v, Vi = 0), имеем;

sin^a в

') Интегрируя no предельным расстояниям, можно получить аналогич­ный результат для эффективного излучения при рассеянии пучка частиц. Надо, однако, иметь в виду, что этот результат несправедлив для эффек­тивного излучения при кулоновом взаимодействии сталкивающихся частиц в связи с тем, что интеграл по dp оказывается расходящийся (логарифми­чески) при больших р. Мы увидим в следующем параграфе, что в' этом слу­чае эффективное излучение' при малых частотах зависит логарифмически от частоты, а не остается постоянным.