1. Определить излучение диполя d, вращающегося в одной плоскости с постоянной угловой скоростью q').

Решение, Выбирая плоскость вращения в качестве плоскости ху, имеем:

d_x = d_acosQt, ру = d₉ sin Ш.

Ввиду монохроматичности этих функций излучение тоже монохроматично с частотой ш = Q. По формуле (67,7) найдем для углового распределения среднего (по периоду вращения) излучения:

_ d₀²Q⁴

где д —угол между направлением п излучения и осью г. Полное излучение

_ 2d²Q⁴

Зс³ '

Поляризация излучения определяется направлением вектора [dn] =, = w²[nd]. Проецируя его на направления в плоскости пг и перпендикулярно к ней, найдем, что излучение поляризовано по эллипсу с отношением длин полуосей, равным n_z = cos f>; в частности, излучение в направлении оси г поляризовано по,кругу.

2. Определить угловое распределение излучения движущейся как целое (со скоростью v) системой зарядов, если известно распределение в системе отсчёта, в которой система как целое покоится. ■ Решение, Пусть

йГ = / (cos в', ф') do', do' = d (cos 9') <*ф'

есть интенсивность излучения в системе отсчета К', связанной с движущейся системой зарядов {%', ф' — углы сферических координат с полярной осью вдоль направления движения системы). Излучаемая в течение времени dl в неподвижной (лабораторной) системе отсчета К энергия dS связана с из­лучением энергии й<8' в системе К! формулой преобразования

. ^v а

„ I COS В

_V¹_{--?- V'-£}

') Сюда относится излучение обладающих дипольным моментом ротатора и симметричного волчка. В первом случае роль d играет полный дипольный момент ротатора, а во втором случае — проекция дииольного момента волч­ка на плоскость, перпендикулярную к оси его прецессии (т. е. направлению полного момента вращения).

Так, для диполя, движущегося в направлении своей оси, / = const • sin^s в', и с помощью полученной формулы находим:

dl = const

(импульс излучения, распространяющегося в заданном направлении, связан с его энергией соотношением |dP| = dS\c). Полярные углы в, в' направления излучения в системах К и К' связаны формулами (5,6) (азимуты ср = <!>')■ Наконец, времени dt' в системе К' соответствует время dt — Л'/Vl — V²jc* в системе Л*. В результате для интенсивности dl = (d&jdt)do в системе К найдем:

§ 68. Дипольное излучение при столкновениях

В задачах об излучении при столкновениях (его называют тормозным излучением) редко представляет интерес излучение, сопровождающее столкновение двух частиц, движущихся по определенным траекториям. Обычно приходится рассматривать рассеяние целого пучка параллельно движущихся частиц, и за­дача состоит в определении полного излучения, отнесенного к единице плотности потока частиц.

Если плотность потока частиц в пучке равна единице (т. е. в единицу времени через единицу площади сечения пучка про­ходит одна частица), то число частиц в пучке, имеющих «при­цельное расстояние» между р и р + ф, равно 2ярф (площадь кольца, ограниченного окружностями радиусов р и р -f dp). По­этому искомое полное излучение получится умножением полного излучения AS одной частицы (с заданным значением прицель­ного расстояния) на 2ярф и интегрированием по dp от 0 до оо. Определенная таким образом величина имеет размерность про­изведения энергии на площадь. Мы будем называть ее эффек­тивным излучением и будем обозначать посредством х¹):

со

х=$Д#-2лрф. (68,1)

о

Аналогичным образом можно определить эффективное излуче-

')• Отношение х к энергии излучающей системы называют сечением потери энергии на излучение.

ние в определенный элемент do телесного угла, в определенном интервале da частот и т. п. ').

Выведем общую формулу, определяющую угловое распреде­ление излучения при рассеянии пучка частиц в центрально-сим­метричном поле, предполагая излучение дипольным.

Интенсивность излучения (в каждый момент времени) от­дельной частицей определяется формулой (67,7), в которой d есть дипольный момент частицы относительно рассеивающего центра²). Прежде всего усредняем это выражение по всем на­правлениям вектора d в плоскости поперечного сечения пучка. Поскольку [dn]² = d² — (nd)², то усреднению подлежит лишь ве­личина (nd)². В силу центральной симметрии рассеивающего поля и параллельности падающего пучка частиц рассеяние (а вместе с ним и излучение) обладает аксиальной симметрией относительно оси, проходящей через центр. Выберем эту ось в качестве оси х. Из соображений симметрии оечвидно, что пер­вые степени d_u, й_г при усреднении дают нуль, а поскольку d_x усреднением не затрагивается, то

d_xd_y = d_xd_z — О-

Средние же значения от d²_y и dt равны друг другу, так что

dy — dl = (d² — dl).

Имея все это в виду, без труда найдем:

[Jnf = j (d² + dl) + { (d² - Zdl) cos² 6,

где 6 — угол между направлением п излучения и осью х.

Интегрируя интенсивность по времени и по всем прицельным расстояниям, получим следующее окончательное выражение, определяющее эффективное излучение в зависимости от на­правления:

< do ( . , г» 3 cos² в— 1 \ ,„„ „.

*«» ⁼ InW \^Л + ³ 2 j ' (⁶⁸>²)

где

оо со оо оо

^{А = -| J J d2 dt 2л dp, В = у \ \(й2~ &1) dt 2лр ф. (68,3)}

') Если интегрируемое выражение зависит от угла, под которым распо­ложена проекция дипольного момента частицы в плоскости поперечного се­чения потока, то оно должно быть предварительно усреднено по всем на­правлениям в этой плоскости и лишь затем умножено на 2яр dp и проин­тегрировано.