§ 67. Дипольное излучение

Временем т/с в подынтегральных выражениях запазды» вающих потенциалов (66,1—2) можно пренебречь, если за это время распределение зарядов мало меняется. Легко найти усло­вия осуществления этого требования. Пусть Т означает порядок величины времени, в течение которого распределение зарядов в системе меняется заметным образом. Излучение этой системы будет, очевидно, обладать периодом порядка Т (т. е. частотой порядка 1/7*). Обозначим далее посредством а порядок величины размеров системы. Тогда время гп/с ~ а/с. Для того чтобы за это время распределение зарядов в системе не успело значи­тельно измениться, необходимо, чтобы а/с «С Т. Но сТ есть не что иное, как длина волны Я излучения. Таким образом, уело-, вие а •< сТ можно написать в виде

а «С А, (67,1)

т. е. размеры системы должны быть малы по сравнению с дли­ной излучаемой волны.

Заметим, что условие (67,1) можно получить и из (66,7), В подынтегральном выражении г пробегает значения в интер» вале порядка размеров системы, так как вне системы j равно нулю. Поэтому показатель tier мал, и им можно пренебречь для тех волн, у которых ka<g. 1, что эквивалентно (67,1),

Это условие можно написать еще и в другом виде, заметив, что Т ~ a/v, так что К ~ ca/v, если v есть порядок величины скорости зарядов. Из а «С Я- находим тогда:

и< с, (67,2)

т. е. скорости зарядов должны быть малы по сравнению со скоростью света.

Будем предполагать, что это условие выполнено, и займемся изучением излучения на расстояниях от излучающей системы, больших по- сравнению с длиной волны (а следовательно, во всяком случае больших по сравнению с размерами системы). Как было указано в § 66, на таких расстояниях поле можно рассматривать как плоскую волну, и потому для определения ноля достаточно вычислить только векторный потенциал.

Векторный потенциал (66,2) имеет теперь вид

dV, (67,3)

где время t' = t — R₀/c и уже не зависит от переменных инте­грирования. Подставляя j = pv, переписываем (67,3) в виде

_*-аг(2»-

где суммирование производится по всем зарядам системы; для краткости мы будем опускать индекс t' — все величины в правых сторонах равенств берутся в момент времени Но

_Z^ev=_-^X/^r==d_'>

где d — дипольный момент системы. Таким образом,

^A = i^d- <⁶⁷'⁴>

С помощью формул (66,3) находим, что магнитное поле равно

H^T^-Idn], (67,5)

а электрическое поле

E = ₇^[[dn]n]. (67,6)

Отметим, что в рассматриваемом приближении излучение определяется второй производной от дипольного момента си­стемы. Такое излучение называется дипольным.

Поскольку d=zZ^eT> то d=2^v. Таким образом, заряды могут излучать, только если они движутся с ускорением. Равно­мерно движущиеся заряды не излучают. Это следует, впрочем, и непосредственно из принципа относительности, так как равно­мерно движущийся заряд можно рассматривать в такой инер­циальной системе, где он покоится, а покоящиеся заряды не из­лучают.

Подставляя (67,5) в (66,6), получим интенсивность диполь-ного излучения:

где 9 — угол между векторами d и п. Это есть количество энер­гии, излучаемой системой в единицу времени в элемент телес­ного угла do; отметим, что угловое распределение излучения дается множителем sin² 9.

Подставив do = 2nsin0d6 и интегрируя по dQ от 0 до я, по­лучим полное излучение:

/ = ^rd². (67,8)

Если имеется всего один движущийся во внешнем поле заряд, то d = ex и dI = ew, где w — ускорение заряда. Таким образом, полное излучение движущегося заряда

%3г. (67.9)

Отметим, что замкнутая система, состоящая из частиц, у ко­торых отношения зарядов к массам одинаковы, не может излу­чать дипольно. Действительно, для такой системы дипольный момент

d = ^er = ^-^mr = const ^ mr,

где const есть одинаковое для всех частиц отношение заряда к

массе. Но £mr = ^Е^т. ^гД^е R — радиус-вектор центра инер­ции системы (напоминаем, что все скорости t»Cc, так что при­менима нерелятивистская механика). Поэтому d пропорциональ­но ускорению центра инерции, т. е. равно нулю, так как центр инерции движется равномерно.

Наконец, выпишем формулы для спектрального разложения интенсивности дипольного излучения. Для излучения, сопро­вождающего столкновение, вводим количество dSB® энергии, из­лученной за все время столкновения в виде волн с частотами в интервале йсо/2я (ср. § 66). Оно получится заменой в (67,8) вектора d его' компонентой Фурье d_m и одновременным умно­жением на 2:

По определению компоненты Фурье, имеем: ^{откуда (1}_Ш ^{= — ®2ё}_ы^{. Таким образом, получаем:}

^{^«> = |xldj2-g-, (67,10)}

При периодическом движении частиц аналогичным образом найдем интенсивность излучения с частотой со — пщ в виде

(67,11)

Задачи