1. Определить (с точностью до членов второго порядка) центр инерции системы взаимодействующих частиц.

Решение. Наиболее просто задача решается с помощью формулы

^&a+^W dV а

(ср. (14,6)), где S_a — кинетическая энергия частицы (включая ее энергию покоя), a W — плотность энергии создаваемого частицами поля. Поскольку &_а содержат большие величины пг_ас², то для получения следующего прибли­жения достаточно учесть в 8_а и W лишь члены, не содержащие с, т. е. нерелятивистскую кинетическую энергию частиц и энергию электростатике» ского поля. Имеем:

интеграл по бесконечно удаленной поверхности исчезает, второй интеграл; также преобразуется в поверхностный и тоже исчезает, а в третьем поД« ставляем Дф = —4яр и получаем:

Й^У=-И_Рфг^=4£ е_ащт_а, * а

где ф₀ — потенциал, создаваемый в точке г_а всеми зарядами, за исключи нием е_а').

Окончательно находим:

а \ 6 /

(суммирование по всем 6, кроме Ь — а), где

_{'-!:(«-■+£+}

а \ а>Ь /

') Исключение собственного поля частиц соответствует упомянутой в примечания на стр. 126 «перенормировке» масс

— полная энергия системы. Таким образом, в рассматриваемом приближе­нии координаты центра инерции действительно могут быть выражены через величины, относящиеся только к самим частицам.

2. Написать функцию Гамильтона во втором приближении для системы из двух частиц, исключив из нее движение системы как целого.

Решение. Выбираем систему отсчета, в которой сумма импульсов обеих частиц равна нулю. Написав импульсы как производные от действия, имеем:

_{Pl + Pj}= —+ —=0.

Отсюда видно, что в рассматриваемой системе отсчета действие является функцией разности г = Гг — п радиус-векторов обеих частиц. Поэтому имеем рг = —pi = р, где р = dS/дт есть импульс относительного движения частиц.

Функция Гамильтона равна

lp^a + (pn)²l.

Глава IX

ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

§ 66. Поле системы зарядов на далеких расстояниях

Рассмотрим поле, создаваемое системой движущихся заря­дов на расстояниях, больших по сравнению с ее собственными размерами.

Выберем начало координат О где-либо внутри системы за­рядов. Радиус-вектор из О в точку наблюдения поля Р. обозна­чим посредством Ro, а единичный вектор в этом направлении — через п. Радиус-вектор элемента заряда de = р dV пусть будет г, а радиус-вектор от de в точку Р обозначим как R; очевидно, что R = Ro — г.

На больших расстояниях от системы R₀ > г и приближенно имеем:

« = |Ro-r| = /?₀-nr.

Подставим это в формулы (62,9—10) для запаздывающих потен­циалов. В знаменателе подынтегральных выражений можно пре­небречь гп по сравнению с Ro- В аргументе же t — R/c этого пренебрежения, вообще говоря, сделать нельзя; возможность такого пренебрежения определяется здесь не относительной ве­личиной Ro/c и т/с, а тем, насколько меняются сами р и j за время т/с. Учитывая, что при интегрировании R₀ является по­стоянной и потому может быть вынесено за знак интеграла, на­ходим для потенциалов поля на большом расстоянии от системы зарядов следующие выражения:

9—b\p,Jb+s.dV_t (66,1)

A-^Jj^^rfK., (66,2)

На достаточно больших расстояниях от системы поле в ма­лых участках пространства можно рассматривать как плоскую волну. Для этого надо, чтобы расстояния были велики не только по сравнению с размерами системы, но и по сравнению с дли­ной излучаемых системой электромагнитных волн. Об этой об­ласти поля говорят как о волновой зоне излучения.

В плоской волне поля Е и Н связаны друг с другом соотно­шением (47,4) Е= [Нп]. Поскольку Н = rot А, то для полного определения поля в волновой зоне достаточно вычислить только векторный потенциал. В плоской волне имеем Н = [An] /с (ср. (47,3)), где точка над буквой означает дифференцирование по времени¹). Таким образом, зная А, найдем Н и Е по форму­лам ²):

Н=1[Ап], Е = 1[[Ап]п]. (66,3)

Отметим, что поле на далеких расстояниях оказывается об­ратно пропорциональным первой степени расстояния R₀ от из­лучающей системы. Следует также заметить, что время t входит в выражения (66,1—3) везде в комбинации t — Ra/c с расстоя­нием R₀.

Для излучения, создаваемого одним произвольно движу­щимся точечным зарядом, бывает удобно пользоваться потен­циалами Лиенара— Вихерта. На далеких расстояниях можно заменить в формуле (63,5) переменный радиус-вектор R по­стоянной величиной Ro, а в условии (63,1), определяющем t\ надо положить R = Rq— г₀п (г₀(0—радиус-вектор заряда). Таким образом³),

где /' определяется из равенства

С-|г₀(Оп = /-^. (66,5)

Излучаемые системой электромагнитные волны уносят с со­бой определенную энергию. Поток энергии дается вектором Пойнтинга, равным в плоской волне