§ 64. Спектральное разложение запаздывающих потенциалов

Поле, создаваемое движущимися зарядами, можно разло­жить на монохроматические волны. Потенциалы отдельной мо­нохроматической компоненты поля имеют вид <р_ше~^ш, Аа>е~^ш. Плотности заряда и тока создающей поле системы тоже можно подвергнуть спектральному разложению. Ясно, что за создание определенной монохроматической компоненты поля ответствен­ны соответствующие компоненты от р и j.

Для того чтобы выразить спектральные компоненты поля через компоненты плотностей заряда и тока, подставляем в (62,9) вместо ср и р соответственно <$_ае-^ш и рщв^-"". Мы находим тогда:

г -ta>{t-Rlc)

^{q^e-A* = J} _Р<в ^{£ dV.}

Сокращая на е~^ш и вводя абсолютную величину волнового вектора А = <о/с, имеем:

^ф_и^=)р_й ^{VdK- (64>1)}

Аналогично, для А«, получим:

K=\U^dV. (64,2)

Заметим, что формула (64,1) представляет собой обобщение решения уравнения Пуассона на более общее уравнение вида

Афа + *²Фа — — 4яра (64,3)

(получающееся из уравнения (62,4) при р, ф, зависящих от времени посредством множителя е~^ш).

При разложении в интеграл Фурье компонента Фурье плот­ности заряда есть

р_ш= \ ре^шШ.

—оо

Подставляя это выражение в (64,1), получим:

+ О0

^Фм== \ \^^ei((ut+kR)dVdt. (64,4)

—оо

Здесь надо еще перейти от непрерывного распределения плот­ности зарядов к точечным зарядам, о движении которых факти­чески идет речь. Так, если имеется всего один точечный заряд, то полагаем:

р = еб[г — г₀(/)],

где То (0 — радиус-вектор заряда, являющийся заданной функ­цией времени. Подставляя это выражение в (64,4) и производя интегрирование по dV (сводящееся к замене г на n(t)), по-лучим:

ОО

^Фв==в \ -ъще^+к^Ш, (64,5)

— ОО

где теперь R(t) — расстояние от движущейся частицы до точки наблюдения. Аналогичным образом, для векторного потенциала получим:

оо

^А» ⁼ Т \ ~§e^^^dt, (64,6)

— 00

где v == г₀'(0 — скорость частицы,

Формулы, аналогичные (64,5—6), могут быть написаны и в случае, когда спектральное разложение плотностей заряда и тока содержит дискретный ряд частот. Так, при периодическом (с периодом Т = 2я/со₀) движении точечного заряда спектраль­ное разложение поля содержит лишь частоты вида па>о и соот­ветствующие компоненты векторного потенциала

г

^х"=-ст\ш*"**^{[t+R {m dt} <⁶⁴-⁷)

о

(и аналогично для ф„). В обоих случаях (64,6—7) компоненты Фурье определены в соответствии с § 49.

Задача

Разложить поле равномерно и прямолинейно движущегося заряда на плоские волны.

Решение. Поступаем аналогично тому, как делалось в § 51. Плот­ность заряда пишем в виде р = е6(г — vt), где v — скорость частицы. Взяв компоненту Фурье от уравнения Dq> = —4пеб(г—\t), находим:

С другой стороны, из

имеем:

1 <Э²<Р_к

(□?)_k = -ft²q>k--pr-^r-

Таким образом,

откуда окончательно

<р_к = 4жг

_е- Hkv)t

k²

Отсюда видно, что волна с волновым вектором к обладает частотой ш =j = kv.

Аналогично находим для векторного потенциала:

4пе ve-^i(kv>'

Наконец, для поля имеем:

_1с , (My

E_k = - ft* + i^- А_к = 1Ые -f\r »•> >,