§ 63. Потенциалы Лиенара — Вихерта

Определим потенциалы поля, создаваемого одним точечным зарядом, совершающим заданное движение по траектории г = г₀(0.

Согласно формулам запаздывающих потенциалов поле в точке наблюдения Р(х, у, г) в момент времени t определяется состоянием движения заряда в предшествующий момент вре­мени для которого время распространения светового сигнала из точки нахождения заряда Го(^) в точку наблюдения Р как раз совпадает с разностью t — ?, Пусть R(/) = r — r_Q(t) — ра­диус-вектор от заряда е в точку Р; вместе с ro{t) он является заданной функцией времени. Тогда момент V определяется урав­нением

f + Ml = _t. (63,1)

Для каждого значения t это уравнение имеет всего один ко­рень ?').

') Это обстоятельство довольно очевидно само по себе, но в его спра­ведливости можно убедиться и непосредственно. Для этого выберем точку на­блюдения Р и момент наблюдения г в качестве начала О четырехмерной системы координат и построим световой конус (§ 2) с вершиной в О. Нижняя полость этого конуса, охватывающая область абсолютно прошед­шего (по отношению к событию О), представляет собой геометрическое ме­сто мировых точек, таких, что посланный из них сигнал достигнет точки О. Точки же, в которых эта гиперповерхность пересекается мировой линией движения заряда, как раз и соответствуют корням уравнения (63,1). Но поскольку скорость частицы всегда меньше скорости света, то ее мировая линия имеет везде меньший наклон к оси времени, чем наклон светового конуса. Отсюда и следует, что мировая линия частицы может пересечь нижнюю полость светового конуса только в одной точке,

В системе отсчета, в которой в момент времени f частица покоится, поле в точке наблюдения в момент / дается просто ку-лоновским потенциалом, т. е.

^<p = WT' ^А==0- ^(63,2)

Выражения для-потенциалов в произвольной системе отсчета мы получим теперь, написав такой 4-вектор, который бы при ско­рости v = 0 давал для ф и А значения (63,2). Замечая, что со­гласно (63,1) ф из (63,2) можно написать также и в виде

.находим, что искомый 4-вектор есть

А' = е-^, (63,3)

где и^к — 4-скорость заряда, а 4-вектор R^k = [c(t— t^r), г — г'], причем х', у', z', f связаны друг с другом соотношением (63,1); последнее может быть записано в инвариантном виде как

R_kR^k = 0. (63,4)

Переходя теперь снова к трехмерным обозначениям, полу­чим для потенциалов поля, создаваемого произвольно движу­щимся точечным зарядом, следующие выражения:

_ф=_—^е——, А= ^еу , (63,5)

_{(*-^)' -(«-^Г}

где R — радиус-вектор, проведенный из точки нахождения за­ряда в точку наблюдения Р, и все величины в правых частях равенств должны быть взяты в момент времени V', определяю­щийся из (63,1). Потенциалы поля в виде (63,5) называются потенциалами Лиенара — Вихерта.

Для вычисления напряженностей электрического и магнит­ного полей по формулам

Е = — 7 4г~~ g^rad(P> H = rotA

надо дифференцировать ф и А по координатам х, у, г точки и моменту / наблюдения. Между тем формулы (63,5) выражают потенциалы как функции от /' и лишь через соотношение 1(63,1) — как неявные функции от х, у, z, t. Поэтому для вычис­ления искомых производных надо предварительно вычислить производные от t'. Дифференцируя соотношение R(t') = c(t—<'), по /, имеем:

dR dR dt' Rv df (. df \

(значение dR/df получается дифференцированием тождества R² = R? и подстановкой dR(t') /dt =—v(t); знак минус здесь связан с тем, что R есть радиус-вектор от заряда е в точку Р, а не наоборот). Отсюда

F-ГЖ- <⁶³>⁶>

Rc

Аналогично, дифференцируя то же соотношение по координа­там, найдем:

grad f = -1 grad R (f) = -1 (§■ grad r' + f),

откуда

gradf' = - ^R_R.. (63,7)

С помощью этих формул не представляет труда вычислить поля Е и Н. Опуская промежуточные вычисления, приведем по­лучающийся результат:

^{E = g}-(^^(^R-^^/?)⁺_c,(^4LyM(^-T^)v]].

(63,8)

H = ^[RE]. (63,9)

Здесь v = dv/df; все величины в правых сторонах равенств бе­рутся в момент f. Интересно отметить, что магнитное поле ока­зывается везде перпендикулярным к электрическому.

Электрическое поле (63,8) состоит из двух частей различного характера. Первый член зависит только от скорости частицы |(но не от ее ускорения) и на больших расстояниях меняется как 1/R². Второй член зависит от ускорения, а при больших R ме­няется как 1/R. Мы увидим ниже (§ 66), что этот последний член связан с излучаемыми частицей электромагнитными вол­нами.

Что касается первого члена, то, будучи независимым от уско­рения, он должен соответствовать полю, создаваемому равно­мерно движущимся зарядом. Действительно, при постоянной скорости разность есть расстояние R< от заряда до, точки наблюдения в самый мо­мент наблюдения. Легко также убедиться непосредственной про­веркой в том, что

R_t, -1 R,,_v = д/^-^tvR.]² = R_t д/l —-^-sin²e_f,

где Bt — угол между Rt и v. В результате первый член в (63,8) оказывается совпадающим с выражением (38,8).

Задача

Вывести потенциалы Лиенара — Вихерта путем интегрирования в форму» лах (62,9-10).

Решение. Напишем формулу (62,8) в виде

4><^г. fr-'^i b(r-t+_T\r-t'\)dxdV'

(и аналогично для А (г, t)), введя в нее лишнюю б-функцию и тем самым избавившись от неявных аргументов в функции р. Для точечного заряда, движущегося по заданной траектории г = г₀(0. имеемг

р(г', т) = ео[г'-г„(т)]. Подставив это выражение и произведя интегрирование по dV, получим;

ФС 0 —$ _|r-MT)|*[^T-^f+T'^r-^f'Wl]'

Интегрирование по dx производится с помощью формулы

(где /' — корень уравнения F(/') = 0) и приводит к формуле (63,5).