§ 5. Преобразование скорости

Мы нашли в предыдущем параграфе формулы, позволяющие по координатам события в одной системе отсчета найти коор­динаты того же события в другой системе отсчета. Теперь мы найдем формулы, связывающие скорость движущейся матери­альной частицы в одной системе отсчета со скоростью той же частицы в другой системе.

Пусть опять система К' движется относительно системы К со скоростью V вдоль оси х. Пусть v_x = dx/dt есть компонента скорости в системе К, аи, = dx'jdf — компонента скорости той же частицы в системе К.'. Из (4,3) мы имеем:

dx' + Vdt' dt'+^dx'

^{dx =} —]=W' ^dy^{= d}y'' ^{dz = dz}'> ^{dt ==} —у ⁰ _vz -

Разделив первые три равенства на четвертое и введя скорости

dr , dr'

^v ~~ ~dt' " ~ dt'~

находим:

v'_x + V

v_y= ^V , o,= ^V . (5,1)

v,v ^ы v_xV v_xV

1+-^"

Эти формулы и определяют преобразование скоростей. Они представляют собой закон сложения скоростей в теории отно­сительности. В предельном случае с-уоо они переходят в фор­мулы классической механики v_х = v'_x + V, v_y — v'_y, v_z = v'_z.

В частном случае- движения частицы параллельно оси х имеем v_x = v, v_u = v_z = 0. Тогда v' = v'_г = 0, a v'_x — v', причем

¹ + -л^-

Легко убедиться в том, что сумма двух скоростей, меньших или равных скорости света, есть снова скорость, не большая скорости света.

Для скоростей V, значительно меньших скорости света (ско­рость v может быть любой), имеем приближенно с точностью до членов порядка V/c:

Эти три формулы можно записать в виде одной векторной формулы

v = v' + V-^(Vv')v'. (5,3)

Обратим внимание на то, что в релятивистский закон сложе­ния скоростей (5,1) две складываемые скорости v' и V входят несимметричным образом (если только обе они не направлены вдоль оси х). Это обстоятельство естественным образом свя­зано с упомянутой в предыдущем параграфе некоммутатив­ностью преобразований Лоренца.

Выберем оси координат так, чтобы скорость частицы в дан­ный момент лежала в -плоскости ху. Тогда скорость частицы в системе К имеет компоненты v_x — и cos 6, »j, = usin0, а в системе К' имеем v'_x — v' cos 6', v' — v' sin 8' (v, v' и 6, G' — абсолютные величины и углы, образованные скоростью с осями х и х' со­ответственно в системах К и К'). С помощью формул (5,1) на­ходим тогда:

о' А/1 —j- sin 6'

t_g 9 = X. . (5,4)

^ь о' cos 6 + V v > /

Эта формула определяет изменение направления скорости при переходе от одной системы отсчета к другой.

Рассмотрим подробнее важный частный случай этой фор­мулы, а именно отклонение света при переходе к другой системе отсчета, — явление, называемое аберрацией света. В этом слу­чае v = v' = с и предыдущая формула переходит в

A/1--V

tge=-^ — sine'. (5,5)

— + cos 6' с

Из тех же формул преобразования (5,1) легко получить ана­логичную зависимость для sin 6 и cos 0:

В случае 7<с находим из (5,6) с точностью до членов порядка К/с:

sin 9 — sin в' = — — sin в' cos9'. с

Вводя угол Д9 = 0' —0 (угол аберрации), находим с той же точностью:

Ae = -fsin0', (5,7)

т. ё. известную элементарную формулу для аберрации света,