1. Определить дифракцию Фраунгофера при нормальном падении пло­ской волны на бесконечную щель (ширины 2а) с параллельными краями, прорезанную в непрозрачном экране.

Решение. Выберем плоскость щели в качестве плоскости уг с осью г вдоль длины щели (рис. 13 представляет разрез экрана). При нормальном

I I I

"гГ-i \

I I

_X

Рис. 13

падении света плоскость щели является одной из волновых поверхностей, которую мы возьмем в качестве поверхности интегрирования в (61,1). Ввиду бесконечности длины щели свет отклоняется только в плоскости ху (инте­грал (61,1) обращается в нуль при q_z¥=Q), Поэтому разложение поля и₀ должно производиться лишь по координате у:

и

= ^ e~^tqy dy = sin да.

Интенсивность дифрагированного света в интервале углов dQ есть

dl-.

2о

«о

dq

2я

nak

sin² kaQ

■dQ.

где ft =? ш/с, а /о — полная интенсивность света, падающего на щель.

dJjdQ как функция угла дифракции имеет вид, изображенный на рис. 14. При увеличении в в ту или другую сторону от 6 = 0 интенсивность пробе­гает ряд максимумов с быстро убывающей высотой. Максимумы разделены в точках в = tmfka (п — целые числа) минимумами, в которых интенсив­ность обращается в нуль.

2. То же при дифракция от решетки — плоского экрана с прорезанным в нем рядом одинаковых параллельных щелей (ширина щели 2а, ширина непрозрачного экрана между соседними щелями 26, число щелей JV).

Решение. Выберем плоскость решетки в качестве плоскости уг с осью z, параллельной щелям. Дифракция снова происходит лишь в плоско­сти ху, и интегрирование в (61,1) дает:

1 " Z-j 1 i _e~2*4d *

где d = a-\- b, a u'_q есть результат интегрирования по одной щели. Вос­пользовавшись результатами задачи 1, получим:

Nn \ sin qd ) \ qa ) ⁴ Nnak \ sin k&d ) 6^a

(h — полная интенсивность света, проходящего через все щели).

При большом числе щелей (N -*■ оо) эту формулу можно написать в ином виде. При значениях q = лп/d (п — целое число) dlfdq имеет макси­мумы; вблизи такого максимума (т. е. при qd = пл Ц- е, в мало)

, / sin qa \² sin² Ne .

di--

Но при ЛГ->- оо имеет место формула')

,. sin² Nx ...

Поэтому вблизи каждого максимума имеем:

т. е. максимумы обладают, в пределе, бесконечно малой шириной, а полная интенсивность света в n-м максимуме есть

j{n)_=I ^d sin² (nna/d)

3. Определить распределение интенсивности по направлениям при дифрак­ции света, падающего в нормальном направлении на круглое отверстие ра­диуса а.

') При х Ф 0 функция в левой стороне равенства равна нулю, а со­гласно формулам, известным из теории рядов Фурье,

лг(^]""^"')-'<°>'

Отсюда видно, что свойства этой функции действительно совпадают со свой­ствами б-функцин (см, примечание на стр. 100).

§61}

ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА

211

Решение. Введем цилиндрические координаты г, г, <р с осью г, проходящей через центр отверстия перпендикулярно к его плоскости. Оче- видно, что дифракция симметрична относительно оси г, так что вектор q имеет лишь, радиальную компоненту q_r = а = кв. Отсчитывая угол <р от направления q и интегрируя в (61,1) по плоскости отверстия, находим: о 2я а

^u<t=и_{° W} ^е_~^{цт coa Vrd,fdr== 2яи}_{° $} ⁷_°^r

0 0 о

где /е-- функция Бесселя нулевого порядка. С помощью известной формулы

a

Jo(qr)rdr = -yJ_l (aq) 0

имеем отсюда:

о<7=—q ¹

н согласно (61,4) находим окончательно интенсивность света, дифрагиро­вавшего в элемент телесного угла do:

_{где Jo — полная интенсивность света, падающего на отверстие.}