1. Определить фокусное расстояние для отображения с помощью двух аксиально-симметричных оптических систем с совпадающими оптическими осями.

Решение. Пусть fi и /₂ — фокусные расстояния обеих систем. Для каждой системы в отдельности имеем:

■^1-^1 ⁼⁼ — ^1» ^X2^2⁼~fb

Поскольку изображения, даваемые первой системой, являются предметом для второй, то, обозначая посредством / расстояние между задним главным фокусом первой системы и передним фокусом второй, имеем Х₂ = х\ — I; выражая Х₂ через X,, находим:

или

откуда видно, что главные фокусы составной системы находятся в точках X_t =■ — f\jl, X, = fljl, а фокусное расстояние равно

' — /

(для выбора знака в этом выражении надо написать соответствующее урав­нение для поперечного увеличения).

В случае, если / = 0, фокусное расстояние f = оо, т. е. составная си­стема дает телескопическое отображение. В этом случае имеем: Х₂ = X_l (/o/fj) > ^т- е. параметр а в общей формуле (56,9) равен а = /₂//i-

2. Определить фокусное расстояние «магнитной линзы» для заряженных частиц, представляющей собой продольное однородное магнитное поле в участке длины I (рис. 8) ').

') Речь может идти о поле в длинном соленоиде при пренебрежении искажением однородности поля вблизи концов соленоида.

Решение. При движении я магнитном поле кинетическая энергия частицы сохраняется; поэтому уравнение Гамильтона — Якоби для укорочен­ного действия So (г) (полное действие S = —Wt + S₀) есть

₀^S_°-7^A₎² _{= '}²_'

где

— т²с² = const.

Воспользовавшись формулой (19,4) для векторного потенциала однородного магнитного поля, выбирая ось х вдоль направления последнего и рассматри-

дг=0

Рис. 8

вая ее как оптическую ось аксиально-симметричной оптической системы, по-луяга уравнение Гамильтона — Якоби в виде

(о

где г — расстояние от оси х, a So — функция от х и г.

Для тонких пучков частиц, распространяющихся вблизи оптической оси, координата г мала, соответственно чему ищем S₀ в виде ряда по степеням г. Первые два члена этого ряда:

S₀ = рх + 4 о (х) г¹,

(2)

где а(х) удовлетворяет уравнению

_Ра'(х) + о* + ^гН*

(3)

В области 1 перед линзой имеем:

а<'> =

где Х\ < 0 — постоянная. Это решение соответствует свободному пучку ча­стиц, разлетающихся по прямым лучам из точки х = Х\ на оптической оси в области /. Действительно, свободному движению частицы с импульсом р в направлении от точки х — Xi соответствует действие

S₀ = pV² + (*-*i)² (*-*>) +

рг"

2<*-*,)

Аналогично, в области 2 позади линзы пишем:

X — х₂

где постоянная х_г представляет собой координату изображения точки xi.

В области же 3 внутри линзы решение уравнения (3):

где С — произвольная постоянная.

Постоянные С и х₂ (при заданном x_t) определяются условиями непре­рывности а(х) при х — 0 и х — к

= -7Г~ ^сг6 С. -Г¹- = -7Г— Ctg ( -л I + С \ ,

х, 2с ^Б I — х₂ 2с \ 2ср }

Исключая из этих равенств постоянную €, получим:

(xi-g) <** + *)--/».

где ')

2ср еН1 , , , . 2ср

2ср

еН ^{v 6} 2ср ' * ^* ~ „ . еШ

еН sin