§ 55. Угловой эйконал

Идущий в пустоте луч света, попадая в какое-либо прозрач­ное материальное тело, имеет по выходе из этого тела направ­ление, вообще говоря, отличное от первоначального. Это изме­нение направления зависит, конечно, от конкретных свойств тела и от его формы. Оказывается, однако, возможным вывести неко­торые общие законы, относящиеся к изменению направления лу­чей света при прохождении через произвольные материальные тела. При этом предполагается только, что для лучей, распро­страняющихся внутри рассматриваемого тела, имеет место гео­метрическая оптика. Такие прозрачные тела, через которые про­пускают лучи света, мы будем называть, как это принято, опти­ческими системами.

') Хотя формула (54,2) сама по себе не справедлива вблизи каустик, но указанное изменение фазы поля формально соответствует изменению зна­ка (т. е. умножению на е'")^ или R₂ в этой формуле.

В силу указанной в § 53 аналогии между распространением лучей и движением частицы, те же общие законы справедливы и для изменения направления движения частиц, двигавшихся сначала прямолинейно в пустоте, затем проходящих через ка­кое-нибудь электромагнитное поле и снова выходящих из этого поля в пустоту. Для определенности мы будем, однако, ниже говорить о распространении лучей света.

Мы видели, что уравнение эйконала, определяющее распро­странение лучей, может быть написано (для света с определен­ной частотой) в виде (53,11). Ниже мы будем для удобства обозначать посредством гр эйконал гЬ₀, деленный на постоянную величину ш/с. Тогда основное уравнение геометрической оптики будет иметь вид

№?=1. (55,1)

Каждое решение этого уравнения описывает собой опреде­ленный пучок лучей, причем направление луча, проходящего через данную точку пространства, определяется градиентом \f в этой точке. Для наших целей, однако, такое описание недоста­точно, поскольку мы ищем общие соотношения, определяющие прохождение через оптические системы не какого-либо одного определенного пучка лучей, а соотношения, относящиеся к лю­бым лучам. Поэтому мы должны пользоваться эйконалом, взя­тым в таком виде, в котором он описывал бы все вообще воз­можные лучи света, т. е. лучи, проходящие через любую пару точек в пространстве. В обычной своей форме эйконал яр (г) есть фаза луча из некоторого пучка, проходящего через точку г. Те­перь же мы должны ввести эйконал как функцию tp (г, г') коор­динат двух точек (г, г' — радиус-векторы начальной и конечной точек луча). Через всякую пару точек г, г' можно провести луч, и t|)(r, г') есть разность фаз (или, как говорят, оптическая длина пути) этого луча между точками г и г'. Ниже мы будем везде подразумевать под гиг' радиус-векторы точек на луче соответ­ственно до и после его прохождения через оптическую систему.

Если в tp(r, г') один из радиус-векторов, скажем г', считать заданным, то гр как функция от г будет описывать определенный пучок лучей, а именно пучок лучей, проходящих через точку г'. Тогда гЬ должно удовлетворять уравнению (55,1), в котором диф­ференцирование производится по компонентам г. Аналогично, считая г заданным, находим еще одно уравнение для tp (г, г⁷), так что

(Vtp)²= 1, (V'$?=\. (55,2)

Направление луча определяется градиентом его фазы. По­скольку tf(r, г⁷) есть разность фаз в точках г' и г, то направле­ние луча в точке г' определяется вектором п' = dap/6V, а в точке г — вектором n = —dty/dr. Из (55,2) видно, что векторы п и п' единичные:

п² = п'²=1. (55,3)

§Б5|

УГЛОВОЙ ЭЙКОНАЛ

183

Четыре вектора г, г', п, п' связаны между собой некоторым соотношением, поскольку два из них (п, п') являются производ­ными по двум другим (г, г') от некоторой функции гр. Что ка­сается самой функции то она удовлетворяет дополнительным условиям — уравнениям (55,2).

Для нахождения соотношения между п, п', г, г' удобно вве­сти вместо ip другую величину, на которую бы не налагалось никаких дополнительных условий (т. е. которая не должна была бы удовлетворять каким-либо дифференциальным уравнениям). Это можно сделать следующим образом. В функции ф незави­симыми переменными являются г и г', так что для дифферен­циала dib имеем:

d-$ = It dr + -0- dr' = - n dr + n' аУ.

Произведем теперь преобразование Лежандра к независи­мым переменным п и п' вместо г и г', т. е. напишем:

dip = - d (nr) + г dn + d (n V) - r' dn',

откуда, вводя функцию

% = nV — nr — ip, (55,4)

имеем:

d% = — г dn -f r' dn'. (55,5)

Функцию % называют угловым эйконалом', как видно из (55,5), независимыми переменными в нем являются п и п'. На % не налагается уже никаких дополнительных условий. Действи­тельно, уравнения (55,3) представляют собой теперь лишь усло­вия, относящиеся к независимым переменным, показывающие, что из трех компонент п_х, п_у, п_е вектора п (и аналогично для п') только две являются независимыми. Мы будем ниже в качестве независимых переменных пользоваться компонентами п_у, п_г, п'_у, п'_г, и тогда

n_x = Aj\-n\-n\, n_x = ^/l-n'_y-n'_z.

Подставляя эти выражения в

d%= — x dn_x — у dn_g — г dn_z + х' dn'_x + у' dn'_y + z' dn'_z,

находим для дифференциала d%\ d% = -(y-^x)dn_y -(z--~x)dn_z +

_{+0'-§*')*•;+(>}

Отсюда находим окончательно следующие уравнения:

У п_х^Х дп_у ' ^Z п_х ^Х дп_г '

г •

п_у , д% , п₂ , дх

У 7-Х =—Г, Z — ■

п_х дПу п_х дп_г

(55,6)

определяющие искомое общее соотношение между п, п', г, г'. Функция х характеризует конкретные свойства тел, через кото­рые проходят лучи (или свойства поля — в случае движения за-ряженных частиц).

При заданных значениях п, п' каждая из двух пар уравнений (55,6) изображает собой прямую линию. Эти прямые являются не чем иным, как лучами до и после прохождения через опти­ческую систему. Таким образом, уравнения (55,6) непосред­ственно определяют ход лучей по обе стороне оптической си­стемы.