3. Найти закон преобразования параметров Стокса при повороте осей у, z на угол ф.

Решение. Искомый закон определяется связью параметров Стокса С компонентами двухмерного тензора в плоскости yz и дается формулами

£1 = !,со8 2ф — |₃8ш2ф, |3 = i_lSH^ + i₃«^, |2 = |₂.

РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

169

§ 51. Разложение электростатического поля

Поле, созданное зарядами, тоже можно формально разло­жить по плоским волнам (в интеграл Фурье). Это разложение, однако, существенно отличается от разложения электромагнит­ных волн в пустоте. Действительно, поле зарядов не удовлетво­ряет однородному волновому уравнению, а потому и каждый член разложения поля не удовлетворяет этому уравнению. От­сюда следует, что для плоских волн, на которые можно разло­жить поле зарядов, не выполняется соотношение k² = (a²/c², ко­торое имеет место для плоских монохроматических электромаг­нитных волн.

В частности, если формально представить электростатическое поле в виде наложения плоских волн, то «частота» этих волн будет равна нулю, так как рассматриваемое поле не зависит от времени; волновые же векторы, конечно, отличны от нуля.

Рассмотрим поле, создаваемое точечным зарядом е, находя­щимся в начале координат. Потенциал ср этого поля опреде­ляется уравнением (см. § 36)

Д_Ф = -4яе6(г). (51,1)

Разложим ф в пространственный интеграл Фурье, т. е. пред­ставим его в виде

+00

"^W' d?k = dk_xdk_ydk_z. (51,2)

— ОО

При ЭТОМ

Ф„= \(p(r)e-^lkTdV.

Применив к обеим частям равенства (51,2) оператор Лапласа, находим:

+оо

^{Дф=_ J} _к^2е*'<р_к^{-^,}

—ОО

так что компонента Фурье от выражения Дф есть

(Дф)_к = — k\.

С другой стороны, можно найти (Аф)к, взяв компоненту Фурье от обеих частей уравнения (51,1):

^(Дф)_к ^{= — J 4пе6 (г) е~1кт dV = — Але.}

Сравнивая оба полученных выражения, находим:

4яе ,_Р. ..

Эта формула и решает поставленную задачу.

Аналогично потенциалу <р можно разложить и напряженность;

С помощью (51,2) имеем:

^{Е = - grad J} _Фк^{в* -Цг = -$ m^-g^.}

— СО

Сравнивая с (51,4), находим:

Е_ь = -Лир_ь=(51,5)

Отсюда видно, что поле волн, на которое мы* разложили куло-ново поле, направлено по волновому вектору. Поэтому эти вол­ны можно назвать продольными.

§ 52. Собственные колебания поля

Рассмотрим свободное (без зарядов) электромагнитное поле, находящееся в некотором конечном объеме пространства. Для упрощения дальнейших вычислений мы предполагаем, что этот объем обладает формой прямоугольного параллелепипеда со сторонами, равными соответственно А, В, С. Мы можем тогда разложить все величины, характеризующие поле в этом парал­лелепипеде, в тройной ряд Фурье (по трем координатам). На­пишем это разложение (например, для векторного потенциала) в виде

А = Е A_ke'"^kr. (52,1)

к '

Суммирование производится здесь по всем возможным значе­ниям вектора к, компоненты которого пробегают, как известно, значения

2тг_х 2пп_у 2лп_г

k_x— ^ . ky = -q , k_z = q , (52,2)

где п_х, п_у, n_z — положительные или отрицательные целые числа.

В силу вещественности А коэффициенты разложения (52,1) связаны друг с другом равенствами A__k = A_fc. Из уравнения div А = О следует, что для каждого к

кА_к = 0, (52,3)

т. е. комплексные векторы Ак «поперечны» к соответствующим волновым векторам к. Векторы Ак являются, конечно, функция­ми времени; в силу волнового уравнения (46,7) каждый из них удовлетворяет уравнению

A_k + c²A²A_k = 0. (52,4)

Если размеры А, В, С выбранного объема достаточно велики, то соседние значения k_x, k_y, k_z очень близки друг к другу. Мож­но говорить тогда о числе возможных значений k_x, k_y, k_z в не­больших интервалах Ak_x, Ak_y, Ак_г. Поскольку соседние значения, скажем k_x, соответствуют значениям п_х, отличающимся на еди­ницу, то число Ап_х возможных значений k_x в интервале Ak_x равно просто соответствующему интервалу значений п_х. Таким образом, находим:

Д** = Ьп_у = -!^Ак_у, Ап_г = ~Ак_г.

Полное число An значений вектора к с компонентами в задан­ных интервалах равно произведению

An = An_xAn_yAn_z==-r^TAk_xAk_yAk_z, (52,5)

где V = ABC — объем поля. Легко определить отсюда число значений волнового вектора с абсолютной величиной в интер­вале Ak и направлением в элементе телесных углов Ао. Для этого надо перейти к сферическим координатам в «к-простран-стве» и написать вместо Ak_xAk_yAk_z элемент объема в этих коор­динатах. Таким образом,

An==-~^k²AkAo. (52,6)

Заменив здесь Ао на 4я, получим число значений к с величиной в интервале Ak и любыми направлениями: An — Vk²Ak/2n². Вычислим полную энергию поля

<r = -s4-$(E²+HW,

выразив ее через величины Ак. Для электрического и магнитного полей имеем:

^{е = -4-а = --1£Ал}

^ " (52,7)

H = rotA = i E[kA_k]e^ikr.

k

При вычислении квадратов этих сумм замечаем, что все произ­ведения членов с волновыми векторами к и к', такими, что

к' ф —к, дают нуль при интегрировании по всему объему. Дей­ствительно, такие члены содержат множители e'(^k+^k'>^r, а инте­грал, например,

с целым отличным от нуля п_х равен нулю. В членах же с к' = =—к экспоненциальные множители выпадают и интегрирова­ние по dV дает просто объем V. - В результате найдем:

k

Но ввиду (52,3) имеем:

[kA_k][kA;] = ^A_kA_k>

так что

_{'"iZM+^W <}⁵²_'⁸_>

k

Каждый член этой суммы соответствует одному из членов раз­ложения (52,1).

В силу уравнения (52,4) векторы А_к являются гармониче­скими функциями времени с частотами = ck, зависящими только от абсолютной величины волнового вектора. В зависи­мости от выбора этих функций члены разложения (52,1) могут представлять собой стоячие или бегущие плоские волны. Пред­ставим разложение поля в таком виде, чтобы его члены изобра­жали бегущие волны. Для этого запишем его в форме

А = Z (a_ke'^kr + a_ke~'^kr),_# (52,9)

явным образом выражающей вещественность А, причем каждый из векторов а_к зависит от времени по закону

а_к со в"'"*', <u_k = ck. (52,10)

Тогда каждый отдельный член в сумме (52,9) будет функцией только от разности кг — оМ, что соответствует волне, распро­страняющейся в направлении к.

Сравнив разложения (52,9) и (52,1), находим, что их коэф­фициенты связаны равенствами

А_к — ^а_к + ^а*-_к>

а в силу (52,10) производные по времени A_k = -/cfc(a_k-a_k).

Подставив это в (52,8), выразим энергию поля через коэффи­циенты разложения (52,9). Члены с произведениями вида a_ka__k или a_kal_k взаимно сокращаются; заметив также, что суммы X а_ка^ и Yu ^а_к^а1к отличаются лишь обозначением переменной суммирования и потому совпадают друг с другом, получим окон­чательно:

#ъ = ^\<- (62,11)

к

Таким образом, полная энергия поля выражается в виде суммы энергий <tk, связанных с каждой из плоских волн в отдельности.

Аналогичным образом можно вычислить полный импульс поля:

1

Zk 8_к IT'

к

причем получается

(52,12)

Этот результат можно было ожидать заранее ввиду известного соотношения между энергией и импульсом плоских волн (см. § 47).

Разложением (52,9) достигается описание поля посредством дискретного ряда переменных (векторы ак) вместо описания не­прерывным рядом переменных, каковым по существу является описание потенциалом А(х, у, z, t), задаваемым во всех точках пространства. Мы произведем теперь преобразование перемен­ных ак, в результате которого окажется возможным придать уравнениям поля вид, аналогичный каноническим уравнениям (уравнениям Гамильтона) механики.

Введем вещественные «канонические переменные» Qk и Рь согласно соотношениям

,-у- . (52,13)

Pk-=-4Vi^^(ak~^ak)==Qk-

Функция Гамильтона поля получается подстановкой этих вы­ражений в энергию (52,11):

^{* = 5>}_ь ^{= £ (PJ + «ДО). (52,14)}

к к

При этом уравнения Гамильтона дЗ@/дРъ = Q_k совпадают с ра­венствами Рк = Qk> которые, таким образом, действительно ока­зываются следствием уравнений движения (это достигнуто надлежащий выбором коэффициента в преобразовании (52,13) ₇, Уравнения же d3^/dQ_k = — P_k приводят к уравнениям

т. тождественны с уравнениями ноля.

Каждый из векторов Q_k и Р_к перпендикулярен к волновому вектору к, т. е. имеет по две независимые компоненты. Направ­ление этих векторов определяет направление поляризации со­ответствующей бегущей волны. Обозначив две компоненты век-тар* jQ_k (в плоскости, перпендикулярной к) посредством <}_к/>

1 = 1, 2, имеем Q_k=2/Q_kf, и аналогично для Р_к. Тогда

к/

Мы видим, что функция Гамильтона распадается на сумму независимых членов, каждый из которых содержит только по одной паре величин Q_k/, Р_к/. Каждый такой член соответствует бегущей волне с определенными волновым вектором и поляри­зацией. При этом Жы имеет вид функции Гамильтона одномер-н«г>0 «осциллятора», совершающего простые гармонические ко­лебания. Поэтому о полученном разложении говорят иногда как о разложении поля на осцилляторы.

Выпишем формулы, выражающие в явном виде поле через неременные Р_к, О_к. Из (52,13) имеем:

^a_k^{«=x^/^(*k-fe*Qk), = Vf (p* + to,Q}_k^{). (52,17)}

Иадставляя эти выражения в (52,1), найдем векторный потен­циал поля:

^{А = y\J-Y- £ j (ckQ}_k ^{cos kr - P}_k ^{sin kr). <52,18)}

k

Для электрического и магнитного полей получим:

Е = — f\J -y-Y, (^{с& Qk sin kr} + ^{Pk cos kr}^'

,— " (52,19)

H = - д/-^- £ -j (ck [kQ_k] sin kr + [kP_k] cos kr).

k