1. Разложить произвольный частично поляризованный свет на «есте­ственную» и «поляризованную» части.

Решение. Такое разложение означает представление тензора /_ар в виде

г —-1 /^е)л рМрМ* 'ар 2 °арт^£10а^с0р •

Первый член отвечает естественной, а второй — поляризованной частям све­та. Для определения интенсивностей этих частей замечаем, что определитель

'ар-^Чр

Представив /_ар = /р_ар в виде (50,13) и решая это уравнение, получим:

У<^е> = /(1-Я).

') Для полностью эллиптически поляризованной волны с осями эллипса bi и Ь₂ (см. § 48) параметры Стокса равны

|, = 0, |₂ = ± 2b_lb₂/I, |₃ = (б² - b²)/j.

При этом ось у направлена вдоль Ьь а два знака в |₂ отвечают направле­ниям Ь₂ в положительном или отрицательном направлении оси г.

2) Для прямого доказательства замечаем, что поскольку поле волны

поперечно в любой системе отсчета, то заранее очевидно, что тензор р .

ар

останется двухмерным и в новой системе отсчета. При этом преобразование Pa^ ^в Рар оставляет неизменной сумму квадратов модулей р_арР„р (действи­тельно, вид преобразования не зависит от конкретных поляризационных свойств света, а для вполне поляризованной волны эта сумма равна 1 в лю­бой системе отсчета). В силу вещественности этого преобразования веще­ственная и мнимая части тензора р . (50,9) преобразуются независимо,

р

а потому остаются неизменными также и суммы квадратов компонент ка­ждой из них в отдельности, выражающиеся соответственно через I и А.

Интенсивность же поляризованной части /^п* = | Е{,^п* |² = / — = IP.

Поляризованная часть света представляет собой, вообще говоря, эллип­тически поляризованную волну, причем направления осей эллипса совпадают с главными осями тензора S_ap. Величины b_t и 6₂ осей эллипса и угол ф, образуемый осью bi с осью у, определяются из равенств:

b\ + b\ = JP, 2b_{b₂^JP\₂, tg2q> = |^.

2. Представить произвольную частично поляризованную волну в виде наложения двух некогерентиых эллиптически поляризованных волн.

Решение. Для эрмитового тензора р_ар «главные оси» определяются двумя единичными комплексными ортами n(nn* = 1), удовлетворяющими уравнениям

рар«й = лп₀- (1)

Главные значения %\ и %₂ даются корнями уравнения

I Pap — ^A«ap I = 0.

Умножив уравнение (1) с обеих сторон на п*_а, имеем:

^A = Pap«a^reP = 7-|^£0a«a Г' откуда видно, что Я,_ь Х₂ вещественны и положительны. Умножив уравнения

„ „(1) _ я „(О _п* „(2)* _ у „(2)* Pap^rafl — ^Al^raa • PaPⁿp — ^h2ⁿa

первое на n^'\ а второе на nQ\ вычтя почленно одно из другого и восполь­зовавшись эрмитовостью тензора р_ар, получим:

(A.-^V^O.

Отсюда следует, что п'''п'²'* = 0, т. е. орты п'¹* и' п'²' ортогональны друг другу.

Искомое разложение волны осуществляется формулой

_а — 5 „(1)„(1)* _1_ 1 я<2)„<2)* Pop "' ^Alⁿa "p + ^A2"a ^п\Ъ '

Всегда можно выбрать комплексную амплитуду так,* чтобы из двух взаимно перпендикулярных компонент одна была вещественна, а другая мнима (ср. § 48). Положив

_П\¹⁾ = Ь_х, 4" = ^1Ъ2

(где теперь b_t и Ь% подразумеваются нормированными условием b\ + Ь\ — 1) получим тогда из уравнения n^V²'* = 0: '

_й⁽,²⁾=^₂, 4^{2) = 6}i-

Отсюда видно, что эллипсы обоих эллиптически поляризованных колебаний подобны (имеют одинаковые отношения осей), причем один из них повернут на прямой угол относительно другого.