1. Определить направление и величину осей эллипса поляризации по комплексной амплитуде е0.

Решение. Задача заключается в определении вектора Ъ — Ь\ + ib» с вещественным квадратом. Имеем из (48,7):

E₀E* = *²4-4 [E_eE;] = -2i[b₁b₂], (1)

или

b\+bl= А² + В², b_xb₂ = AB sin5, где введены обозначения

\E_oyl = A, \E_DZ\ = B, ^- = ^е'°

для абсолютных значений £о» и £₀г и разности фаз (б) между ними. Отсюда

2&1, _s =УЛ² + В² + 2АВ sin б ± У Л² + fi² - 2ЛВ sin б, (2)

чем и определяются величины полуосей эллипса поляризации.

Для определения их направления (относительно произвольных исходных осей у, г) исходим из равенства

Re^b^E^^O, в котором легко убедиться, подставив Е₀ = (b| + ib₂) е ^а. Раскрывая это равенство в координатах у, г, получим для угла 9 между направлением bi и осью у:

Направление вращения поля определяется знаком ^-компоненты вектора [bibj]. Написав из (1)

21 [Ь,Ь₂], = Е₀₂Е'_0у - Е'₀₂Е_0у = | Е_0у |² {(-^) - },

мы видим, что направление вектора [bib₂] (по или против положительного направления оси д:), а тем самым и знак вращения (по или против направ­ления винта, ввинчиваемого вдоль оси х) дается знаком мнимой части от­ношения Еог/Еоу (плюс в первом и минус во втором случае). Это правило обобщает правило (48,11) при круговой поляризации.

2. Определить движение заряда в поле плоской -монохроматической ли­нейно поляризованной волны.

Решение. Выбирая направление поля Е в воЬне в качестве оси у, пишем:

сЕ_а

Е_у = Е==Е₀ cos cog, Ay — A — ~ sin tag

(g = t — xlc). По формулам (3—4) задачи 2 § 47 находим (в системе от­счета, в которой частица в среднем покоится) следующее параметрическое (параметр г) = <в|) представление движения:

^Х 8^T^sin2T1> У 1^^{C0ST1, 2==0;}

т, е²Е²₀ е²Е²

^t==— ~ 1ПГТ ^{sin 2l}l> Y² = m²c²+- °-

co 8_Y²co³ " ^{r т} 2<й^{2 1}

e²E² eE

P* = --4^-^cos2t1. Py = ~-^^ Рг = 0.

Заряд движется в плоскости ху по симметричной «8-образной кривой с про­дольной осью вдоль оси у. Периоду движения отвечает изменение пара­метра г) от 0 до 2к.

3. Определить движение заряда в поле поляризованной по кругу волны.

Решение. Для поля в волне имеем:

Е_у = Е₀ cos cog, Е_г = Е₀ sin cog,

, сЕв . . . сЕп » А_и = sin cog, А, = —- cos cog.

Движение определяется формулами:

х — 0, у = _r cos саг, г= г- sin cof,

„ еЕ_а . еЕ_п

Рх = 0, р_у = sm cor, p_z= — cos cof,

<?E²

со'

Таким образом, заряд движется в плоскости уг по окружности радиуса есЕо/уш² с постоянным по величине р = еЕ₀/в> импульсом; направление им­пульса р в каждый момент противоположно направлению магнитного поля Н волны.

§ 49. Спектральное разложение

Всякую волну можно подвергнуть так называемому спек­тральному разложению, т. е. представить в виде наложения мо­нохроматических волн с различными частотами. Эти разложе­ния имеют различный характер в зависимости от характера зависимости поля от времени.

К одной категории относятся случаи, когда разложение со­держит частоты, образующие дискретный ряд значений. Про­стейший случай такого рода возникает при разложении чисто периодического (хотя и не монохроматического) поля. Это есть разложение в обычный ряд Фурье; оно содержит частоты, яв­ляющиеся целыми кратными «основной» частоты а>₀ = 2п/Т, где Т — период поля. Напишем его в виде

/= Z he-¹™¹ (49,1)

/1=—оо

(/ — какая-либо из величин, описывающих поле). Величины /_л определяются по самой функции / интегралами

Т/2

fn = -T \ f(t)e^ln^dt. (49,2)

-Г/2

Ввиду вещественности функции f(t) очевидно, что

/-„ = /„• (49,3)

В более сложных случаях в разложении могут присутство­вать частоты, являющиеся целыми кратными (и их суммами) нескольких различных, несоизмеримых друг с другом основных частот.

При возведении суммы (49,1) в квадрат и усреднении по времени произведения членов с различными частотами обра­щаются в нуль ввиду наличия в них осциллирующих множите­лей. Останутся лишь члены вида f_nf-n = \ fп\². Таким образом, средний квадрат поля (средняя интенсивность волны) предста­вится в виде суммы интенсивностей монохроматических ком­понент:

F= £ \fn\² = 2 ZlfJ² (49,4)

tl — — ОО л=1

(подразумевается, что среднее по периоду значение самой функ­ции f(t) равно нулю, так что /о=/ = 0).

К другой категории относятся поля, разлагающиеся в инте­грал Фурье, содержащий непрерывный ряд различных частот. Для этого функции f(t) должны удовлетворять определенным условиям; обычно речь идет о функциях, обращающихся в нуль при / = ±00. Такое разложение имеет вид

со

f(0 = \ (49,5)

— сю

причем компоненты Фурье определяются по самой функции f(t)

интегралами

со

L= \f(t)e™it. (49,6)

При этом аналогично (49,3)

(49,7)

Выразим полную интенсивность волны, т. е. интеграл от f³ по всему времени, через интенсивности компонент Фурье. С по­мощью (49,5—6) имеем:

— со — оо ^ —оо J

— оо * —со * —оо

или» учитывая (49,7),

оо со со

^{\ Fdt= \ \U ^ = 2 \ f/.-p£. (49,8)}

•—ео —се о