§ 48. Монохроматическая плоская волна

Важный частный случай электромагнитных волн представ­ляют волны, в которых поле является простой периодической функцией времени. Такая волна называется монохроматической. Все величины (потенциалы, компоненты полей) в монохромати­ческой волне зависят от, времени посредством множителя вида cos (шг + а), где a — циклическая частота (или просто частота} волны.

В волновом уравнении вторая производная от поля по вре­мени равна теперь d²f/dt² = —to²/, так что распределение поля по пространству определяется в монохроматической волне урав­нением

Af + -£/ = 0. (48,1)

В плоской волне (распространяющейся вдоль оси х) поле является функцией только от / — х/с. Поэтому если плоская волна монохроматична, то ее поле является простой периодиче­ской функцией от / — х/с. Векторный потенциал такой волны удобнее всего написать в виде вещественной части комплексного выражения:

А = Re {V~^to"~*^/e)}'. (⁴⁸'²>

Здесь Ао — некоторый постоянный комплексный вектор. Оче­видно, что и напряженности Е и Н в такой волне будут иметь аналогичный вид с той же частотой а>. Величина

A=i^- (48,3)

называется длиной волны; это есть период изменения поля с ко­ординатой х в заданный момент времени t. Вектор

k = fn (48,4)

(где п — единичный вектор в направлении распространения вол­ны) называется волновым вектором. С его помощью можно представить (48,2) в виде

А = Re {А₀е< «"-«><>}, (48,5)

не зависящем от выбора осей координат. Величину, стоящую с множителем i в показателе, называют фазой волны.

До тех пор, пока мы производим над величинами лишь ли­нейные операции, можно опускать знак взятия вещественной части и оперировать с комплексными величинами как таковы­ми¹). Так, подставив

А = А₀е'<^кг-^ш'>

в (47,3), получим связь между напряженностями и векторным потенциалом плоской монохроматической волны в виде

E = ffcA, H=i[feA]. (48,6)

') Если какие-либо две величины А(0 и В(/) пишутся в комплексном виде:

А(О = А₀е-'^и<, В(Ц=Ъ_ае-^ш,

то при образовании их произведения надо, разумеется, сначала отделить вещественную часть. Но если, как это часто бывает, нас интересует лишь среднее (по времени) значение этого произведения, то его можно вычис­лить как

— Re {А В*}.

Действительно, имеем:

Re A Re В - {(\е~^ш + А^<) (в₀£Г*»< + В>'«").

При усреднении члены, содержащие множители е^{± 2lat}, обращаются в нуль, так что остается

Re A Re В = 1 (А₀В* + А^В₀) - i- Re (АВ«).

Рассмотрим подробнее вопрос о направлении поля монохро­матической волны. Будем для определенности говорить об элек­трическом поле

E = Re {E₀e«^kr-^m<>}

(все сказанное ниже относится, разумеется, в той же мере и к магнитному полю). Ео есть некоторый комплексный вектор. Его квадрат Eg есть некоторое, вообще говоря, тоже комплексное число. Если аргумент этого числа есть —2а (т. е. Ео = = |Ео|е~^2ш), то вектор Ь, определенный согласно

Е₀ = Ье~'^а, (48,7)

будет иметь вещественный квадрат Ь² = |Е₀|². С таким опреде­лением напишем:

Е = Re {Ье«^кг-^и'-°>}. (48,8)

Представим b в виде

b = bj + ib₂,

где bi и Ьг — два вещественных вектора. Поскольку квадрат Ь² = Ъ\ — Ъ\ + 2flbib.> должен быть вещественной величиной, то ЬхЬг = 0, т. е. векторы bi и Ь₂ взаимно перпендикулярны. Вы­берем направление bj в качестве оси у (ось х— по направле­нию распространения волны). Тогда из (48,8) имеем:

Е_у = b_{ cos (at — kr-f-a), Е_г = ± 6₂ sin (со/ — kr + а), (48,9)

где знак плюс или минус имеет место в зависимости от того, направлен вектор Ь₂ в положительном или отрицательном на­правлении оси z. Из (48,9) следует, что

Е² Е²

-f + -f=l. (48,10)

ь, ь₂

Мы видим, таким образом, что в каждой точке пространства вектор электрического поля вращается в плоскости, перпенди­кулярной к направлению распространения волны, причем его конец описывает эллипс (48,10). Такая волна называется эллип­тически поляризованной. Вращение происходит в направлении по или против направления винта, ввинчиваемого вдоль оси х, соответственно при знаке плюс или минус в (48,9).

Если b\ = b₂, то эллипс (48,10) превращается в круг, т. е. вектор Е вращается, оставаясь постоянным по величине. В этом случае говорят, что волна поляризована по кругу. Выбор на­правлений осей у й z при этом становится, очевидно, произволь­ным. Отметим, что в такой волне отношение у- и 2-составляю-щих комплексной амплитуды Е₀ равно

Ем . . i л е\ л * ч

соответственно для вращения по и против направления винта (правая и левая веляризации)¹).

Наконец, если by или Ь₂ равно нулю, то поле волны направ­лено везде и всегда параллельно (или антипараллельно) одному и тому же направлению. Волну называют в этом случае линейно поляризованной или поляризованной в плоскости. Эллиптически поляризованную волну можно рассматривать, очевидно, как наложение двух линейно поляризованных волн.

Вернемся к определению волнового вектора и введем четы­рехмерный волновой вектор

# = (■7- к). (48,12)

Тот факт, что эти величины действительно составляют 4-век­тор, очевиден хотя бы из того, что при умножении на 4-вектор х¹ он дает скаляр — фазу волны:

^д:' = <а/-кг. (48,13)

Из определений (48,4) и (48,12) видно, что квадрат волнового 4-вектора равен нулю:

*'fc, = 0. (48,14)

Это соотношение следует также и непосредственно из того, что выражение

А = А₀ ехр (— ik_tx^l)

должно быть решением волнового уравнения (46,10).

Как у всякой плоской волны, в монохроматической волне, распространяющейся вдоль оси х, отличны от нуля лишь сле­дующие компоненты тензора энергии-импульса (см. § 47):

уоо yoi __ 2*п __ jjp

С помощью волнового 4-вектора эти равенства можно записать в тензорном виде как

Р^к = -^-к¹к^к. (48,15)

Наконец, используя закон преобразования волнового 4-век­тора, легко рассмотреть так называемый эффект Доплера — изменение частоты волны ю, испускаемой источником, движу­щимся по отношению к наблюдателю, по сравнению с «соб­ственной» частотой ©о того же источника в системе отсчета (/С_в), в которой он покоится.

^J) Подразумевается, что оси х, у, г образуют, как всегда, правовинто-вую систему.

Пусть V — скорость источника, т. е. скорость системы от­счета Ко относительно К. Согласно общим формулам преобра­зования 4-векторов имеем:

у

*»- — k¹

(скорость системы К относительно Ко есть—V). Подставив

сюда 1г° = а/с, k^l = k cos а == ■— cos а, где а — угол (в системе

К) между направлением испускания волны и направлением дви­жения источника, и выражая о через щ, получим:

_V

1~£

<о = со₀ у ■ (48,16)

1 cos а

с

Это и есть искомая формула. При V < с она дает, если угол а не слишком близок к л/2:

© щ ^ 1 -f- -у cos . (48,17)

При а = я/2 имеем:

^{. = ш}₀ ^{д/l—£ ~ % (1, -11); (48,18).}

в этом случае относительное изменение частоты пропорциональ­но квадрату отношения V/c,

Задачи