1. Определить силу, действующую на стенку, от которой отражается [(с коэффициентом отражения r) падающая на нее плоская электромагнит- ная волна.

Решение. Сила f, действующая на единицу площади стенки, дается потоком импульса через эту площадь, т. е. есть вектор с составляющими

fa*=— ^aat^Nt— ^aa&^Nfi>

где N—вектор нормали к поверхности стенки, а а_ар и с^— компоненты тен­зоров напряжений падающей и отраженной волн. Учитывая (47,6), получим:

i = Wn (Nn)-fr'n' (Nn').

По определению коэффициента отражения имеем: W = RW. Введя также угол падения 0 (и равный ему же угол отражения) и переходя к компо­нентам, найдем нормальную силу (световое давление)

f_N = W(l+R) cos² 8

и тангенциальную силу

f_t = W(l — R) sine cos 0.

2. Методом Гамильтона — Якоби определить движение заряда в поле плоской электромагнитной волны.

Решение. Уравнение Гамильтона — Якобя, записанное в четырхмер-

ной форме:

■"(£⁺7*)(£⁺f*)—■■

Тот факт, что поле представляет собой плоскую волну, означает, что А¹ яв­ляются функциями одной независимой переменной, которую можно пред­ставить в виде | = kiX¹, где № — постоянный 4-вектор с равным нулю квад­ратом, kik' = 0 (ср. следующий параграф). Потенциалы подчиним лорен-

цеву условию

дА' dA^l . _п дх¹ d\

для переменного поля волны это условие эквивалентно равенству A'ki = 0. Ищем решение уравнения (1) в виде

S~—ftX^l + F(Q,

где /' = (/°, f) — постоянный вектор, удовлетворяющий условию fif¹ = т*с^г (S — —fix' — решение уравнения Гамильтона — Якоби для свободной части­цы с 4-импульсом p^t=f^l). Подстановка в (1) приводит к уравнению

где постоянная у = ktf¹. Определив отсюда F, получим:

S^-f^-J-^AUi + ^^AtA'dt (2)

Переходя к трехмерным обозначениям с фиксированной системой отсче­та, выберем направление распространения волны в качестве оси х. Тогда |=с< — х, а постоянная у = f° — f¹. Обозначив двухмерный вектор fg, U

^{через х, получим из условия = if) — (/') — к2 — т2с2:}

Выберем потенциалы в калибровке, в которой (р = 0, а А(£) лежит в пло­скости уг. После этого выражение (2)ч примет вид

■vx ■

Согласно общим правилам (см. I § 47) для определения движения надо приравнять производные dSjdx, dS/dy некоторым новым постоянным, кото­рые можно обратить в нуль соответствующим выбором начала координат и начала отсчета времени. Таким образом получим параметрические формулы (% — параметр):

Q

Обобщенный импульс Р = р + — А и энергия Ш определяются диффе­ренцированием действия по координатам и времени; это дает:

в в

Ру = Щ— — ^Aw Pz = Kz — — А*

_ у mW + K* е . е^а ~~y⁺ 2у~ Ту" ⁺"2у^"

8 = (Y + Рх) е.

Если усреднить эти величины по времени, то члены с первой степенью пе­риодической функции А(£) обратятся в нуль. Пусть система отсчета выбрана таким образом, что в ней частица в среднем покоится, т. е. ее средний импульс равен нулю. При этом будет

_е2

и = 0, у² — ^тг°² + уг А². Тогда окончательные формулы для определения движения примут вид $(A*-AV1, ,j=*--~^A_ydt, ₂ = -JL^₂d|,

2у²с²

^{^ = i+-2^5(As-A2)rf|; (3)}

^(А'-А²), _Pt,~--L_Ay, _Рг=*-_Т

# = су + -^-(А²-А²). «)