§ 47. Плоские волны

Рассмотрим частный случай электромагнитных волн, когда поле зависит только от одной координаты, скажем j; (и от вре­мени). Такие волны называются плоскими. В этом случае урав­нения поля принимают вид

где под f подразумевается любая компонента векторов Е или Н. Для решения этого уравнения пере'пишем его в виде

_{(*-^)0-+«£)'-}^в

и введем новые переменные так что

/ = ±(г, +1), л: == -|- (г] — i).

') Следует отметить, что условие (46,9) не определяет еще выбор по­тенциалов вполне однозначным образом. Именно, к А можно прибавить

grad/, а из q> при этом вычесть ~-^jf> причем, однако, функция f не

произвольна, а должна удовлетворять, как легко убедиться, волновому урав» пению □/ = 0.

151

/-f.(<-7)+b('+£)-

(47,2)

Пусть, например, /₂ = 0, так что f — fi(t — x/c). Выясним смысл этого решения. В каждой плоскости х = const поле ме­няется со временем; в каждый данный момент поле различно для разных х. Очевидно, что поле имеет одинаковое значение для координат х и моментов времени t, удовлетворяющих со­отношениям t — х/с = const, т. е.

х — const -f ct.

Это значит, что если в некоторый момент f = 0 в некоторой точке х пространства поле имело определенное значение, то через промежуток времени t то же самое значение поле имеет на рас­стоянии ct вдоль оси х от первоначального места. Мы можем сказать, что все значения электромагнитного поля распростра­няются в пространстве вдоль оси х со скоростью, равной скоро­сти света с.

Таким образом, fi(t — х/с) представляет собой плоскую вол­ну, бегущую в положительном направлении оси х. Очевидно, что h(t-r-x/c) представляет собой волну, бегущую в противополож­ном, отрицательном, направлении оси х.

В § 46 было показано, что потенциалы электромагнитной волны можно выбрать так, чтобы ф = 0, причем div А = 0. Вы­берем потенциалы рассматриваемой теперь плоской волны именно таким образом. Условие div А = 0 дает в этом случае

поскольку все величины не зависят от у и г. Согласно (47,1) будем иметь тогда и d²A_x/dt² = 0, т. е. dA_x/dt = const. Но про­изводная dA/dt определяет электрическое поле, и мы видим, что отличная от нуля компонента А_х означала бы в рассматривае­мом случае наличие постоянного продольного электрического поля. Поскольку такое поле не имеет отношения к электромаг­нитной волне, то можно положить А_х — 0.

Таким образом, векторный потенциал плоской волны может быть всегда выбран перпендикулярным к оси х, т. е. к направ­лению распространения этой волны.

Рассмотрим плоскую волну, бегущую в положительном на­правлении оси х; в такой волне все величины, в частности и А, являются функциями только от г — х/с. Из формул

Е = --4£-. H=rotA

мы находим поэтому:

Е = -1а', H = [VA]==[v(_f-i).A'] = -l[nA'], (47,3)

где штрих обзначает дифференцирование по t — х/с, а п — еди­ничный вектор вдоль направления распространения волны. Под­ставляя первое равенство во второе, находим:

Н = [пЕ]. (47,4)

Мы видим, что электрическое и магнитное поля Е и Н пло­ской волны направлены перпендикулярно к направлению рас­пространения волны. На этом основании электромагнитные волны называют поперечными. Из (47,4) видно, далее, что элек­трическое и магнитное поля плоской волны перпендикулярны друг к другу и одинаковы по абсолютной величине.

Поток энергии в плоской волне

S = -£[EH]==-£[E[nE]], и поскольку En = 0, то

Таким образом, поток энергии направлен вдоль направления распространения волны. Поскольку W = (Е² + Н²) = есть плотность энергии волны, то можно написать:

S = cWn, (47,5)

в согласии с тем, что поле распространяется со скоростью света.

Импульс единицы объема электромагнитного поля есть S/c². Для плоской волны это дает (W/c)n. Обратим внимание на то, что соотношение между энергией W и импульсом W/c электро­магнитной волны оказывается таким же, как для частиц, дви­жущихся со скоростью света (см. (9,9)).

Поток импульса поля дается максвелловским тензором на­пряжений о_ар (33,3). Выбирая по-прежнему направление рас-

ПЛОСКИЕ волны

153

пространения волны в качестве оси х, найдем, что единственная отличная от нуля компонента T^aQ есть

T^xx = -a_xx = W. (47,6)

Как и следовало, поток импульса направлен по направлению распространения волны и равен по величине плотности энергии.

Найдем закон преобразования плотности энергии плоской электромагнитной волны при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Для этого в формулу

V(^' + ²-£⁵*--S-<4)

[(см. задачу к § 33) надо подставить

5; = cW cos а', а'_хх = -W cos² а',

где а'— угол (в системе К') между осью х' (вдоль которой на­правлена скорость V) и направлением распространения волны. В результате находим:

(1 +— cose/) W = W ^с _vl ^J . (47,7)

1--V с*

Поскольку W = £²/4я = Я²/4я, то абсолютные величины напря-женностей поля волны преобразуются как ^W.

Задачи