§ 43. Постоянное магнитное поле

Рассмотрим магнитное поле, создаваемое зарядами, совер­шающими финитное движение, при котором частицы остаются все время в конечной области пространства, причем импульсы тоже остаются всегда конечными. Такое движение имеет ста­ционарный характер, и представляет интерес рассмотреть сред­нее (по времени) магнитное поле Н, создаваемое зарядами; это поле будет теперь функцией только от координат, но не от времени, т. е. будет постоянным.

Для того чтобы найти уравнения, определяющие среднее магнитное поле, усредним по времени уравнения Максвелла

^{divH = 0, rotH=4-§ + ^-j.}

Первое из них дает просто

divH = 0. (43,1)

Во втором уравнении среднее значение производной dE/dt, как и вообще производной от всякой величины, меняющейся в ко­нечном интервале, равно нулю (см. примечание²) на стр. 119). Поэтому второе уравнение Максвелла приобретает вид

rotH = -f-f. (43,2)

Эти два уравнения и определяют постоянное поле Н. Введем средний векторный потенциал А согласно

rot А = Н.

Подставив это в уравнение (43,2), получим: grad div А — ДА = ~J.

Но мы знаем, что векторный потенциал поля определен не- однозначно, и поэтому на него можно наложить любое дополни- тельное условие. На этом основании выберем потенциал А так, чтобы _

divA = 0. (43,3)

Тогда уравнение, определяющее векторный потенциал постоян­ного магнитного поля, приобретает вид

^{AA = --f-j\ (43,4)}

Решение этого уравкения легко найти, заметив, что (43,4) вполне аналогично уравнению Пуассона (36,4) для скалярного потенциала постоянного электрического ^оля, причем вместо плотности заряда р стоит плотность тока ]/с. По аналогии с ре­шением (36,8) уравнения Пуассона мы можем написать

^{A=4$-IdV, (43,5)}

где R— расстояние от точки наблюдения поля до элемента объема dV.

В формуле (43,5) можно лерейти от интеграла к сумме по зарядам, подставляя вместо j произведение ру и помня, что все заряды точечные. При этом необходимо иметь в виду, что в интеграле (43,5) R является просто переменной интегрирования и потому, конечно, не подвергается усреднению. Если же напи­сать вместо интеграла ^-^dV сумму ^-^^v,° , то R_a будут ра­диус-векторами отдельных частиц, меняющимися при движении зарядов. Поэтому надо писать

*- т!^ <⁴³>⁶>

где усредняется все выражение, стоящее под чертой. Зная А, можно найти напряженность поля;

H = rotA = rot-}^dK.

Операция rot производится по координатам точки наблюдения. Поэтому rot можно перенести под знак интеграла и при диф-

^еренцировании считать j постоянным. Применяя известную ормулу

rot f а = f rot a -f-[grad f • a],

где f и a — любые скаляр и вектор, к произведению j • нахо- дим! __ _

ro.i-[_grad-t.r]-™,

н, следовательно, _

n = _T^M-dV (43,7)

(радиус-вектор R направлен из dV в точку наблюдения поля). Это — так называемый закон Био и Савара.

§ 44. Магнитный момент»

Рассмотрим среднее магнитное поле, создаваемое системой стационарно движущихся зарядов на больших раеетоаниях от этой системы.

Введем систему координат с началом где-нибудь внутр-и си­стемы зарядов, аналогично тому, как мы делали в § 40. Обозна­чим опять радиус-векторы отдельных зарядов посредством r_fl, a радиус-вектор точки, в которой мы ищем поле, посредством Ro. Тогда Ro — г_а есть радиус-вектор от заряда е_а к точке наблюде­ния. Согласно (43,6) имеем для векторного потенциала:

Как и в § 40, разложим это выражение по степеням г_а. С точностью до членов первого порядка (индекс а для; краткости опускаем):

*=ik-2>-Tl^ev(^rVit)-

В первом члене можно написать:

Но среднее значение производной от меняющейся в конечном интервале величины £ ее равно нулю. Таким образом, для А остается выражение

a—jE-Ci)-^^

Преобразуем его следующим образом. Замечая, что v = r, мы можем написать (помня, что Ro есть постоянный вектор):

£ е (R₀r) v = 1 -± £ et (rR₀) + £ e [v (rR₀) - r (vR₀)].

При подстановке этого выражения в А среднее значение от пер­вого члена (с производной по времени) снова обратится в нуль, и мы получим:

Введем вектор

m =^J]_e[rvl, (44,2)

называемый магнитным моментом системы. Тогда

_*~^J_^"E^v_i^,,u_]' ^(44,3)

Зная векторный потенциал, легко найти напряженность маг­нитного поля. С помощью формулы

rot [ab] = (bV) а — (aV) b + a div b — b div а

находим:

Я = rot [ш J - m div || - (»V) j±.

Далее, при Ro^O

div-^ = Ro grad ± + -L div R₀ = 0

и

^(WV)F=i(mV)R₀+RofmV^) = -|- Bi^L. Таким образом,

H= ³ⁿ^">-^, (44,4)

где n — снова единичный вектор в направлении R₀. Мы видим, что магнитное поле выражается через магнитный момент такой же формулой, какой электрическое поле выражается через ди­польный момент (см. (40,8)).

Если у всех зарядов системы отношение заряда к массе оди­наково, то мы можем написать:

Если скорости всех зарядов v <С с, то mv есть импульс р заряда, и мы получаем:

где М = Yi [П>] ^есть механический момент импульса системы. Таким образом, в этом случае отношение магнитного момента к механическому постоянно и равно е/2тс.

Задача

Определить отношение магнитного и механического моментов для си­стемы из двух зарядов (скорости v < с).

Решение. Выбирая начало координат в центре инерции обеих частиц, будем иметь m^i + m₂r₂ = 0 и pi = —р₂ = р, где р — импульс относитель­ного движения, С помощью этих соотношений найдем:

= — (— + ^е% \ ^т'^т* м.

2с \ т\ т\) fftj + m₂

§ 451 •

ТЕОРЕМА ЛАРМОРА

145