2) В соответствии с определением, принятым в квантовой механике.

^{0 га-—/ *}

где

_{<й?-£ vi л/^тг^С}⁹_- ^ф_«)- ^(41,13)

а

Совокупность 2/ -f 1 величин Q<^ составляет 2⁽-польный момент системы зарядов.

Определенные таким образом величины Qm* связаны с ком­понентами вектора дипольного момента d формулами

ОД> = И,. Q*i = Т -± ^idy)- (41.Н)

Величины же Q^> связаны с компонентами тензора Z)_ag соот­ношениями

, (41,15)

Задача

Определить квадрупольный момент однородно заряженного эллипсоида относительно его центра.

Решение. Заменяя суммирование в (41,3) интегрированием по объему эллипсоида, имеем:

^D_xx ^{= Р J (?*2 - У2 — г7) dx dy dz и т. д.}

Выбираем оси координат вдоль осей эллипсоида с началом а его центре; аз соображений симметрии очевидно, что эти же оси являются главными осями тензора £>_ар- Преобразованием

х = х'а, у = у'Ь, г — г'с интегрирование по объему эллипсоида

yfk 2%

сводится к интегрированию по объему сферы радиуса 1

/²+ /²+/²=1.

В результате получим:

/>я-у(2о?-*»-с»). 0„ = -|-(26»-««-e»).

4ге ,

где е = —j- abcp — полный заряд эллипсоида.

§ 42. Система зарядов во внешнем поле

Рассмотрим систему зарядов, находящуюся во Енешнем элек­трическом поле. Посредством ф(г) будем теперь обозначать по­тенциал этого внешнего ноля. Потенциальная энергия каждого из зарядов есть е_аф(г₀), а полная потенциальная энергия си­стемы равна

и=1.еМГа). (42,1)

а

Выберем снова систему координат с началом где-нибудь внутри системы зарядов; т_а — радиус-вектор заряда e_d в этих коор­динатах.

Предположим, что внешнее поле слабо меняется на протя­жении системы зарядов, т. е. является по отношению к этой системе квазиоднородным. Тогда мы можем разложить энергию U в ряд по степеням г_а:

U = &*> + £/<» -К/<²> + ... (42,2)

В этом разложении первый член есть

£/⁽⁰⁾ = Ф„1>_а, (42,8)

а

где фо — значение потенциала в начале координат. В этом при­ближении энергия системы такова, как если бы все заряды находились в одной точке. Второй член разложения

{/»> = (grad ф)₀- £ е_аг_а.

Введя напряженность E_Q поля в начале координат и дипольный момент d системы, имеем:

t/O)^ _dE₀. (42,4)

Полная сила, действующая на систему во внешнем квазиод­нородном поле, есть, с точностью до рассмотренных членов,

F = Е₀ Е е_а + (grad dE)₀.

Если полный заряд равен нулю, то первый член исчезает и тогда

F = (dV)E, (42,5)

т. е. сила определяется производными напряженности поля (взятыми в начале координат). Полный же момент действую­щих на систему сил есть

K=E[r_a-e_aE₀} = [dE₀], (42,6)

т, е. определяется самой напряженностью поля.

Рассмотрим две системы с равными нулю суммами зарядов в каждой из них и дипольными моментами d) и d2, причем их взаимное расстояние велико по сравнению с их собственными размерами. Определим потенциальную энергию U их взаимо­действия. Для этого можно рассматривать одну из этих систем как находящуюся в поле второй. Тогда

c/ = -d₂E_Il

где Ei — поле первой системы. Подставляя для Е\ выражение (40,8), находим:

_{и =} (d,d₂) /?²-3(d,R) (d₂R) _(42?)

где R — вектор расстояния между обеими системами.

Для случая, когда у одной из систем сумма зарядов отлична от нуля (и равна е), получаем аналогичным образом:

и = е-Щ-, (42,8)

где R — вектор, направленный от диполя к заряду. Следующий член разложения (42,1) равен

и ₂ ^ ex_aXfi .

0.

Здесь мы, как и в § 41, опустили индексы, указывающие номер заряда; значения вторых производных от потенциала берутся в начале координат. Но потенциал q> удовлетворяет уравнению Лапласа

д²Ф _л d²q>

^дх1 "^{Р дх}а ^дхв

Поэтому мы можем написать:

«"-t^Z'(^-7V*)-

или, окончательно,

ит ₌ Е°&. . (42,9)

о дх_а дх$ ^х ' '

Общий член ряда (42,2) может быть выражен через опре­деленные в предыдущем параграфе 2'-польные моменты D Для этого надо предварительно разложить потенциал ф(г) в ряд по шаровым функциям; общий вид такого разложения:

i .

i=.0 т--1

где г, 8, ф — сферические координаты точки, a am — постоянные коэффициенты. Составляя сумму (42,1) и учитывая определение (41,13), получим:

_{Ь,.е (42,п)}

т=-1