5 4!) Муяьтипьльные моменты |35

где п — единичный вектор в направлении Ro- Полезно также указать, что ее можно представить, до выполнения дифференци­рований, в виде

E = (dV)V-l. (40,9)

Таким образом, потенциал поля, создаваемого системой с рав­ным нулю полным зарядом, на больших расстояниях обратно пропорционален квадрату, а напряженность поля — кубу рас­стояния. Это поле обладает аксиальной симметрией вокруг на­правления d. В плоскости, проходящей через это направление (которое выберем в качестве оси г), компоненты вектора Е:

„ , 3cos⁸8—1 „ , 3 sin 8cos 9 _{глп tiv}.

^г —ц—• * —ц—* ⁽ ' *

Радиальная же и тангенциальная составляющие в этой пло- скости

„ . 2cos6 „ I sin8 . _n

^ER = ^d—^~> E_b = -d-^-. (40,11)

§ 41. Мультипольные моменты

В разложении потенциала по степеням l/R₀

_ф = Ф<о)-{-фО>4-ф(2)4- ... (41,1)

член ф^(п> пропорционален 1//?о⁺¹« М-ы видели, что первый член, Ф⁽⁰>, определяется суммой всех зарядов; второй, ф^¹', называе­мый дипольный потенциалом системы, определяется ее диполь­ный моментом.

Третий член разложения равен

Ф⁽²⁾=Т Е ^ех-Нт£щ-к' <⁴¹'2)

где сумма берется по всем зарядам; индекс, указывающий но­мер заряда, мы здесь опустили; х_а — компоненты вектора г, а Х_а — вектора Re. Эта часть потенциала обычно называется ква-друпольным потенциалом. Если сумма зарядов и дипольный момент системы равны нулю, то разложение начинается с ф⁽²⁾.

В выражение (41,2) входят шесть величин /С ех_ах^. Легко, однако, видеть, что в действительности поле зависит не от шести независимых величин, а только от пяти. Это следует из того, что функция l/Ru удовлетворяет уравнению Лапласа:

л_1- = л ^д* 1 _п

^л «« ~ <Ч> дХ_а дХ*Ц,-~ ^и'

Мы можем поэтому написать <р⁽²> в виде Тензор

D^ZeQx^-rXf) (41,3)

называется квадрупольным моментом системы. Из определения Д^р следует, что сумма его диагональных компонент равна нулю:

Аш = 0. (41,4)

Симметричный тензор £)_ар имеет поэтому всего пять независи­мых компонент. С его помощью можно написать:

₌ £! L (415)

или, произведя дифференцирование

д* 1 ₌ 3x_axt 6_ар дх_адхр r₀ rq rq

и учитывая, что 6_apD_ap = D_aa = О,

Как и всякий симметричный трехмерный тензор, тензор D_ap может быть приведен к главным осям. При этом в силу усло­вия (41,4) в общем случае лишь два из трех главных значений независимы. Если же система зарядов симметрична относи­тельно некоторой оси (ось z)¹), то она же является одной из главных осей тензора D_a§, положение двух других осей в пло­скости ху произвольно, и все три главных значения связаны между собой:

D_xx = D_yy = --jD_zz. (41,7)

Обозначая компоненту D_zz как D (ее называют обычно в этом случае просто квадрупольным моментом), получим потенциал в виде

Ф⁽²> = -~ (3 cos² 9 - 1) = Р₂ (cos 9), (41,8)

где 9 — угол между R₀ и осью г, а Р%— полином Лежандра.

Подобно тому как это было сделано в предыдущем парагра­фе для дипольного момента, легко убедиться в том, что квадру-

') Имеется в виду ось симметрии любого порядка выше второго.

МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ

137

польный момент системы не зависит от выбора начала коорди­нат, если равны нулю как полный заряд, так и дипольный мо­мент системы.

Аналогичным образом можно было бы написать следующие члены разложения (41,1). /-й член разложения определяется тензором (так называемым тензором 2'-польного момента) 1-го ранга, симметричным по всем своим индексам и обращающимся в нуль при свертывании по любой паре индексов; можно пока­зать, что такой тензор обладает 21 1 независимыми компо­нентами ').

Мы напишем, однако, здесь общий член разложения потен­циала в другом виде, использовав известную из теории сфери­ческих функций формулу

ОО

! = ¹ — = У -4гг Pi (cos %), (41,9)

где % — угол между R₀ и г. Введем сферические углы в, Ф и 6, Ф, образуемые соответственно векторами R₀ и г с фиксирован­ными осями координат, и воспользуемся известной теоремой сложения для сферических функций:

P,(cosx)= £ Т^ТиИ"^Р\^{Щ (C0S 0)}^^{ml (C0SQ)e}~""^<Ф_Ф)' ^(41,10)

где PT — присоединенные полиномы Лежандра. Введем также сферические функции²)

у,_т(8, ф₎₌(-1Л' ^Ж±ШЕЖ_РТ{С05,_)е^, _т>0, _г)

Тогда разложение (41,9) примет вид

Произведя такое разложение в каждом члене суммы (40,1), по­лучим окончательно следующее выражение для 1-го члена раз­ложения потенциала:

_*^(г)_{=^н i vSr}^Q_^^(e_' ^ф)_« ⁽⁴ⁱ_'ⁱ²⁾

') Такой тензор называют неприводимым. Обращение в нуль при свер­тывании означает, что из его компонент нельзя составить компонент како­го-либо тензора более низкого ранга.