2. Определить эффективное сечение рассеяния на малые углы при рас* сеянии частиц кулоновым полем.

Решение. Эффективное сечение da есть отношение числа частиц, рас­сеянных (в 1 с) в данный элемент do телесного угла, к плотности рассеи­ваемого потока частиц (т. е. к числу частиц, проходящих в 1 с через 1 см² площади поперечного сечения пучка частиц).

Поскольку угол X отклонения частицы при ее пролете через поле опре­деляется «прицельным расстоянием» р (т. е. расстоянием от центра до прямой, по которой двигался бы заряд в отсутствие поля), то

da = 2яр dp = 2яр d% = р ^° .

^v rfx ^dX ^Sln X

где do = 2nsin%dx (см. I § 18). Угол отклонения (если он мал) можно считать равным отношению приращения импульса к его первоначальному значению. Приращение импульса равно интегралу по времени от силы, дей­ствующей на заряд в направлении, перпендикулярном к направлению дви­жения; последняя приближенно равна —. Таким образом, имеем:

+<*>

Чй²)''^{1 =} ~ppv

if ар dt 2а

_{Р А. (Р}

(а — скорость частиц). Отсюда находим эффективное сечение для малых %:

\2 do

\ ро J х*

В нерелятивистском случае р « mv, и это выражение совпадает С получаю­щимся по формуле Резерфорда при малых % (см. I § 19).

§ 40. Дипольный момент

Рассмотрим поле, создаваемое системой зарядов на расстоя­ниях, больших по сравнению с размерами системы.

Введем систему координат с началом где-нибудь внутри си­стемы зарядов. Радиус-векторы отдельных зарядов пусть будут г_а. Потенциал поля, создаваемого всеми зарядами в точке с ра­диус-вектором R₀, равен

(суммирование производится по всем зарядам); здесь (R₀—r_a) — радиус-векторы от зарядов е_а к точке, где мы ищем потенциал.

Мы должны исследовать это выражение для больших Ro (Ro^r_a). Для этого разложим его в ряд по степеням r_a/Ro, воспользовавшись формулой

f (Ro ~ г)~/(Ro) - г grad/(R₀)

(в grad дифференцирование производится по координатам конца вектора Ro). С точностью до членов первого порядка

_»--^-2>А«^п_"^,_-35Г- ⁽⁴⁰_'²⁾

Сумма

d=£e_ar_a (40,3)

носнт название дипольного момента системы зарядов. Сущест­венно, что если сумма £ ^еа ^всех зарядов равна нулю, то диполь-ный момент не зависит от выбора начала координат. Действи­тельно, радиус-вектдры г_а и г'_а одного и того же заряда в двух разных системах координат связаны друг с другом соотноше­нием

К = ^Га + ^&.

где а — некоторый постоянный вектор. Поэтому если £е_а = 0, то дипольный момент в обеих системах одинаков:

d'= £ е_аг'_а = £ e_ar_a + а £ e_a = d.

Если обозначить посредством е+, т+ и — е~, т~ положитель­ные и отрицательные заряды системы и их радиус-векторы, то можно написать дипольный момент в виде

d = £ etrt - £ еай = R⁺ £ et - R" £ ej, (40,4)

где

— радиус-векторы «центров зарядов» положительных и отрица­тельных. Если £ ej" = £ ба = е, то

d = eR₊_, (40,6)

где R₊_ = R+— R- есть радиус-вектор от центра отрицательных к центру положительных зарядов. В частности, если имеются всего два заряда, то R+_ есть радиус-вектор между ними.

Если полный заряд системы равен нулю, то потенциал ее поля на больших расстояниях

_{Ф = — dV = -4^ - (40,7)}

Я,

Напряженность поля

Е = - grad = - -Wad (dRo) - (dRo) grad -L,

или окончательно

3(nd)n-d