§ 38. Поле равномерно движущегося заряда

Определим поле, создаваемое зарядом е, движущимся равно­мерно со скоростью V. Неподвижную систему отсчета будем называть системой К; систему отсчета, движущуюся вместе с зарядом, — системой К'. Пусть заряд находится в начале коор­динат системы К'; система К' движется относительно К парал­лельно оси х\ оси у и z параллельны у' и z'. В момент времени t = О начала обеих систем совпадают. Координаты заряда в си­стеме К, следовательно, x=Vt, y = z = 0. В системе К' мы имеем постоянное электрическое поле с векторным потенциалом А' = 0 и скалярным q/ = e/R', где R'² = х'² -f- у'² -f- г'². В си­стеме К согласно формулам (24,1) с А' = 0

(38,1)

Мы должны теперь выразить R' через координаты х, у, г в системе К. Согласно формулам преобразования Лоренца

' , x — Vt , ,

и отсюда

{_X-Vt)* + (l-~Pjj(y³ + z*)

R'² = V _vt ^J • (38,2)

l --V

^c

Подставляя это в (38,1), находим:

4>==-^г. (38,3)

где введено обозначение

R'² = (х - Vtf + (1 - -£-) (у² + z²). (38,4)

Векторный потенциал в системе К равен

A = fb^ <³⁸-⁵> В системе К^г магнитное поле Н' отсутствует, а электрическое

5 88] Поле равномерно движущегося заряда 129

По формулам (24,2) находим:

^пх ^пх д/3 • F ^ЕУ — ^вУ' F ^eZ'

Подставляя сюда R', х', у', г', выраженные через х, у, г, находим:

^Е==₀^(38,6)

где R — радиус-вектор от заряда е к точке наблюдения х, у, г поля (его компоненты равны х— Wt, у, г).

Это выражение для Е можно написать в другом виде, введя угол 0 между направлением движения и радиус-вектором R. Очевидно, что у² + z² = R² sin² 0, и потому R*² можно написать в виде

R'² = R²(l sin²©). (38,7)

Тогда для Е имеем;

eR »—W

Е = -пг —, ш гзт- • (38,8)

Л³ К² . _tn\V.

При заданном расстоянии R от заряда величина поля Е воз­растает с увеличением 0 от нуля до я/2 (или при уменьшении от я до я/2). Наименьшее значение поле имеет в направлении, параллельном направлению движения (6 = 0, я); оно равно

£u = -fr(l —jr)-

Наибольшим же является поле, перпендикулярное к скорости (9 = я/2), равное

Л² /—

_V¹_-

Отметим, что при увеличении скорости поле Е\\ падает, а Еу возрастает. Можно сказать наглядно, что электрическое поле движущегося заряда как бы «сплющивается» по направлению движения. При скоростях W, близких к скорости света, знамена­тель в формуле (38,8) близок к нулю в узком интервале значе­ний 0 вокруг значения 0 = я/2. Ширина этого интервала по­рядка величины

Таким образом, электрическое поле быстро движущегося за­ряда, на заданном расстоянии от него, заметно отлично от нуля лишь в узком интервале углов вблизи экваториальной плоскости, причем ширина этого интервала падает с увеличением V как

Магнитное поле в системе К равно

H = i[VE] (38,9)

{см. (24,5)). В частности, при V -С с электрическое поле при­ближенно дается обычной формулой закона Кулона Е = eR/R³, и тогда магнитное поле

Н=|-™. (38,10)

Задача

Определить силу взаимодействия (в системе К) между двумя зарядами, движущимися с одинаковыми скоростями V.

Решение. Искомую силу F вычисляем как силу, действующую на один из зарядов (в\) в поле, .создаваемом вторым зарядом (г₂). Имеем с помощью (38,9):

F = е,Е₂ + [VH₂] - «, (1 - ij) Е₂ + ^ V (VE₂).

Подставив сюда Е₂ из (38,8), получим для составляющих силы в направ­лении движения (Fx) и перпендикулярно к нему (F_y):

(l--^-1 cos9 (l--^-Ysine p _ ^e^^e* V. с / if _ e_tg_a V <r }

* R² t V² \<> ^u R² f V² \7»' где R — радиус-вектор от e₂ к е_ь а б' — угол между R и V, § 39. Движение в кулоновом поле

Рассмотрим движение частицы с массой т и зарядом е в поле, создаваемом другим зарядом е'\ мы предполагаем, что масса последнего настолько велика, что его можно считать не­подвижным. Тогда задача сводится к исследованию движения заряда е в центрально-симметричном электрическом поле с по­тенциалом ф = е'/г.

Полная энергия частицы равна

& = с Vp² + + -у.

где а = ее'. Если пользоваться полярными координатами в пло­скости движения частицы, то, как известно из механики,