§ 33. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Применим теперь полученные в предыдущем параграфе об­щие соотношения к электромагнитному полю. Для электромаг­нитного поля величина Л, стоящая под знаком интеграла (32,1), равна согласно (27,4)

_!_ с с« 16я

Величинами q являются компоненты 4-потенциала поля Ak, так что определение (32,5) тензора 7*^ принимает вид

дА, дК

' дх¹ д(дА_[/дх^к) ¹

Для вычисления стоящей здесь производной от А напишем вариацию:

8я ^ы 8я V дх" дх' )

Переставляя индексы и имея в виду антисимметричность Fkt, получим;

An дх"

Отсюда мы видим, что

да __\_pkl

Д (dAtfdx*) 4я '

и поэтому

1 дА, ., 1 ¹ An дх' 16я ' ^im '

или для контравариантных компонент

ⁱ 4я б"*, ^{г 1} ^ 1бя ^{s г,тГ} •

Этот тензор, однако, не симметричен. Для его симметриза­ции прибавим к нему величину

I дА* _ck

4п дх_{

Согласно уравнению поля (30,2) в отсутствие зарядов dF^ki/dxi=0, а потому

1 дА¹

4я дх_{ » 4я ддс^

так что производимая замена Т'^к относится к виду (32,7) и яв- ляется допустимой. Поскольку-^ Ъ~х~~^р » ^{то мы нах}°Дим

окончательно следующее выражение для тензора энергии-им­пульса электромагнитного поля:

^Т'^к = 1п-{- ^р1'^р"' + Т ё%_тР^1т) • (33,1)

Симметричность этого тензора очевидна. Кроме того-, его след равен нулю:

Г< = 0. (33,2)

Выразим компоненты тензора Т'^к через напряженности элек­трического и магнитного пвлей. С помощью значений Ft_k из

(23,5) легко убедиться в том, что Т⁰⁰ совпадает, как и следо­вало, с плотностью энергии (31,5), а компоненты сТ^0а — с ком­понентами вектора Пойнтинга (31,2). Пространственные же ком­поненты Т^а& образуют трехмерный тензор с составляющими

— <?ху = — -^(Ех^Ед + Н_ХНу)

и т. д., или

"«* = -Ш { ^е«^£р + ^я«^яр - Т ^б«э (^£2 + ^Я')} • (³³>³>

Этот трехмерный тензор называют максеелловским тензором напряжений.

Для приведения тензора Г'* к диагональному виду надо про­извести преобразование к системе отсчета, в которой векторы Е и Н (в данной точке пространства и в данный момент вре­мени) параллельны друг другу, либо один из них равен нулю; как мы знаем (§ 25), такое преобразование возможно всегда, за исключением случая, когда Е и Н взаимно перпендикулярны и равны по величине. Легко видеть, что после преобразования единственными отличными от нуля компонентами T^ik будут

уОО _ у 11 _ у22 _ уЗЗ __

(ось х выбрана в направлении полей).

Если же векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и равны по величине, то тензор T^lk не может быть приведен к диагональ­ному виду¹). Отличные от нуля его компоненты в этом случае равны

уоо __ узз _ узо __ \у

(причем ось х выбрана вдоль направления Е, а ось у—вдоль Н).

До сих пор мы рассматривали поле без зарядов. При нали­чии заряженных частиц тензор энергии-импульса всей системы представляет собой сумму тензоров энергии-импульса электро­магнитного поля и частиц, причем в последнем частицы рас­сматриваются как невзаимодействующие.

Для определения вида тензора энергии-импульса частиц не­обходимо описывать распределение масс в пространстве с по­мощью «плотности массы», аналогично тому, как мы описываем распределение точечных зарядов с помощью их плотности.

') Тог факт, что приведение симметричного 4-тензора T^ik к главным осям может оказаться невозможным, связан с псевдоевклидовостью 4-про-странства (см. также задачу к § 94).

Аналогично формуле (28,1) для плотности зарядов, плотность масс можно написать в виде

Ц=Ет_в6(г-г_в), (33,4)

где г_а — радиус-векторы частиц, а суммирование производится по всем частицам системы.

Плотность импульса частиц напишется в виде \хси^а. Как мы знаем, эта плотность представляет собой компоненты Т^0а/с тен­зора энергии-импульса, т. е.

Т^0а = цс²и^а '(а= 1,2,3).

Но плотность массы является временной компонентой 4-векто-

pa ~~jf (аналогично плотности зарядов, см. § 28). Поэтому

тензор энергии-импульса системы невзаимодействующих ча­стиц есть

™/й dx¹ dx^k t ь ds _/nn

^т -*^с1ц-ът = »^сии ж- (³³'⁵>

Этот тензор, как и следовало, симметричен.

Убедимся прямым вычислением в том, что энергия и импульс системы, определенные как суммы энергий и импульсов поля и частиц, действительно сохраняются. Другими словами, мы долж­ны проверить уравнение

•^j (7^ + 2™») = 0, (33,6)

выражающее эти законы сохранения.

Дифференцируя выражение (33,1), пишем:

^dJ^i₌₌4L_FimEi^__Fki^iL__F ^dFkl\

dx^h 4п\2 дх* dx^k " дх^к J'

Подставив сюда согласно уравнениям Максвелла (26,5) и (30,2)] дх¹ дх¹ дх^т ' дх^к с

получим:

ar<"'f 1 _plm dF_ml 1 _{flm d}F_{n fkl} dF_n 4я _г Л

дх^к 4я V 2 дх¹ 2 дх^т дх^к с "^У )'

Перестановкой индексов легко показать, что первые три члена взаимно сокращаются и остается

— Fat. (33,7)

дх^я с

Дифференцирование же тензора (33,5) дает:

_дТ(ч)к

д ( dx^k\ dx^k ди.

Первый член в этом выражении обращается в нуль в силу со­хранения массы невзаимодействующих частиц. Действительно, dx^fc

величины Р-ртр составляют 4-вектор «тока масс», аналогичный

4-вектору тока зарядов (28,2); сохранение же масс выражается равенством нулю 4-дивергенции этого 4-вектора:

£(*£)-* <³³'⁸>

подобно тому, как сохранение заряда выражается уравнением (29,4).

Таким образом, имеем:

Для дальнейшего преобразования воспользуемся уравнением' движения зарядов в поле, написанным в четырехмерном виде (23,4):

du, е

mo­

ds

При переходе к непрерывному распределению заряда и массы имеем, по определению плотностей ц и р: ц/т = р/е. Поэтому можно написать уравнение движения в виде

du. р .

или

du. 1 . ds 1 .

Таким образом,

дТ^м1 1 „ ._k

= -F_lkj^R. (33,9)

дх"

Складывая с (33,7), мы действительно получаем нуль, т. е. при­ходим к уравнению (33,6).

Задача

Найти закон преобразования плотности энергии, плотности потока энер­гии и компонент тензора напряжений при преобразовании Лоренца.

Решение. Пусть система координат К' движется относительно систе­мы К вдоль оси х со скоростью V. Применяя формулы задачи 1 § 6 к сим­метричному тензору Т'*, находим:

2

_{w к}—l__ (w4-£s;-JJ-c4),

1—•

с

s_x = ут [(i + ^r)s'_x + VW< - Vo'_xx],

/ / /

°УУ °УУ °zz *™ ^zz' °yz — °y&

__l___f ' V ./N

°ХУ ~ / _V2 [fxy ~ 1* ^bV)

_V¹

V

и аналогичные формулы для S_z и Охг-§ 34. Теорема вириала

Поскольку след тензора энергии-импульса электромагнит­ного поля равен нулю, то сумма Т\ для любой системы взаимо­действующих частиц сводится к следу тензора энергии-импульса одних лишь частиц. Воспользовавшись выражением (33,5), имеем поэтому:

Перепишем этот результат, возвратившись к суммированию по частицам, т. е. представив и. в виде суммы (33,4). Тогда получим окончательно:

Т\ = £ "V² д/1 —§ б (г - г.). (34,1)

а

Отметим, что согласно этой формуле для всякой системы имеем:

Т\>0, (34,2)

причем знак равенства имеет место только для электромагнит­ного поля без зарядов.

В Щ ТЕОРЕМА ВИРИАЛА Ц9

Рассмотрим замкнутую систему заряженных частиц, совер­шающих финитное движение, при котором все характеризую­щие систему величины (координаты, импульсы) меняются в ко­нечных интервалах¹).

Выведем соотношение, связывающее полную энергию систе­мы с некоторыми усредненными по времени ее характеристи­ками.

Усредним уравнение

1 дТ^а0 дТ^а* __Q с dt дх$

[(см. (32,12)) по времени. При этом среднее значение производ­ной dT^aQ/dt, как и вообще производной от всякой величины, меняющейся в конечном интервале, равно нулю²). Поэтому на­ходим:

д уР — л

Умножаем это уравнение на х^а и интегрируем по всему про­странству. Интеграл преобразуем по теореме Гаусса, имея в виду, что на бесконечности Т$ = 0, и потому интеграл по поверхности исчезает:

или окончательно:

jTSrfK = 0. (34,3)

На основании_этого равенства мы можем написать для ин­теграла от 71 = 71 + 7*0

') При этом предполагается также, что электромагнитное поле системы достаточно быстро стремится к нулю на бесконечности. В конкретных зада­чах это условие может означать необходимость пренебрежения излучением электромагнитных волн системой.

²) Пусть / есть такая величина. Тогда среднее значение производной df/dt за некоторый интервал времени Г есть т

df _ I [ df _Л1_ f(T)-f(0)

dt ~ Т J dt Т

о

Поскольку f(t) меняется только в конечных пределах, то при неограничен­ном увеличении Т это среднее значение действительно стремится к нулю.

Sj\dV==^TldV==8, где <§ — полная энергия системы.

Наконец, подставляя сюда (34,1), найдем:

а

Это соотношение является релятивистским обобщением теоремы вириала классической механики (см. I § 10). Для малых ско­ростей оно переходит в

а а

т. е. полная энергия системы за вычетом энергии покоя частиц равна взятому с обратным знаком среднему значению кинетиче­ской энергии, в согласии с результатом, получаемым из класси­ческой теоремы вириала для системы частиц, взаимодействую­щих по закону Кулона.

Необходимо отметить, что полученные формулы носят до не­которой степени формальный характер и нуждаются в уточне­нии. Дело в том, что энергия электромагнитного поля содержит члены с бесконечным вкладом от собственной электромагнитной энергии точечных зарядов (см. § 37). Чтобы придать смысл со­ответствующим выражениям, следует опустить эти члены, счи­тая, что собственная электромагнитная энергия уже включена в кинетическую энергию частицы (9,4). Это означает, что мы должны произвести «перенормировку» энергии, сделав замену в (34,4)

а

где Еа и Но - поля, создаваемые а-й частицей. Аналогично в (34,3) следует заменить ')

а