§ 31. Плотность и поток анергии

Умножим обе части уравнения (30,3) на Е, а обе части урав­нения (26,1) на Н и сложим Полученные уравнения почленно:

Пользуясь известной формулой векторного анализа div [ab] = b rot а — a rot b, переписываем это соотношение в виде

^{ii(£2 + ^2) = -JTlE-divIEH],}

вли

j_E₁+JP₌__jE__d._v^ _<ЗМ)

Вектор

S = ^[EH] (31,2)

называют вектором Пойнтинга.

Проинтегрируем (31,1) по некоторому объему и применим ко второму члену справа теорему Гаусса. Мы получим тогда:

^{~Ш J ilirLdV — $ JE rfK - $ S A (31,3)}

Если интегрирование производится по всему пространству, то интеграл по поверхности исчезает (поле на бесконечности

в виде суммы 2_, ^evE по всем зарядам, находящимся в поле, и

равно нулю). Далее, мы можем написать интеграл ^ jE dV подставить согласно (17,7)

^evE = -jf& кин-

Тогда (31,3) переходит в

^{4{$-^^^ + Е^и„}==0. (31,4)}

Таким образом, для замкнутой системы, состоящей из элек­тромагнитного поля вместе с находящимися в нем частицами, сохраняется величина, стоящая в написанном уравнении в скоб­ках. Второй член в этом выражении есть кинетическая энергия (вместе с энергией покоя всех частиц; см. примечание на стр. 73); первый же член есть, следовательно, энергия самого электромагнитного поля. Величину

мы можем поэтому назвать плотностью энергии электромагнит­ного поля; это есть энергия единицы объема поля.

При интегрировании по некоторому конечному объему по­верхностный интеграл в (31,3), вообще говоря, не исчезает, так что мы можем написать это уравнение в виде

l{S^^ld,/ + E^„} = -§Sdf, (31,6)

где теперь во втором члене в скобках суммирование произво­дится только по частицам, находящимся в рассматриваемом объеме. Слева стоит изменение полной энергии поля и частиц

•) Мы предполагаем, что на самой поверхности рассматриваемого объе­ма в данный момент времени нет частиц. В противном случае в правой сто­роне равенства должен был бы стоять также и поток энергии, переносимой пересекающими поверхность частицами.

в единицу времени. Поэтому интеграл § S di надо рассматри­вать как поток энергии поля через поверхность, ограничиваю­щую данный объем, так что вектор Пойнтинга S есть плотность этого потока — количество энергии поля, протекающее в единицу времени через единицу поверхности¹).

§ 32. Тензор энергии-импульса

В предыдущем параграфе мы вывели выражение для энергии электромагнитного поля. Выведем это выражение, вместе с вы­ражением для импульса поля, в четырехмерной форме. При этом мы будем для простоты рассматривать пока электромаг­нитное поле без зарядов. Имея в виду дальнейшее применение (к гравитационным полям), а также упрощение выкладок, мы проделаем вывод в общем виде, не конкретизируя род системы.

Рассмотрим некоторую систему, интеграл действия для ко­торой имеет вид

^{S = Ja(<7, -^)dVdt = -j^AdQ, (32,1)}

где Л — некоторая функция от величин q, определяющих состоя­ние системы и их производных по координатам и времени (для электромагнитного поля величинами q являются компоненты 4-потенциала); для краткости мы пишем здесь всего одну такую

величину q. Заметим, что интеграл по пространству ^ Л dV есть

функция Лагранжа системы, так что Л можно рассматривать как «плотность» функции Лагранжа. Математическим выраже­нием замкнутости системы является отсутствие явной зависи­мости Л от х', подобно тому, как функция Лагранжа для замк­нутой механической системы не зависит явно от времени.

«Уравнения движения» (т. е. уравнения поля, если речь идет о каком-либо поле) получаются согласно принципу наименьшего действия путем варьирования S. Имеем (для краткости обозна­чаем qj =з dq/дх¹):

_{«-т1(4г«»+^}⁴_»0'^и_-

1 Г Г ЗА . , д / дА . \ , д йЛ 1 „

^{в т $[-*-6q+1? U; 6v ~ -дт;]dQ=°-}

Второй член под интегралом, будучи преобразован по теореме Гаусса, исчезает при интегрировании по всему пространству, и мы находим тогда следующие «уравнения движения»:

_{■hf— f-=° (}³²_'²_>

дх¹ dq , dq

(везде, конечно, подразумевается суммирование по дважды по­вторяющемуся индексу i).

Дальнейший вывод аналогичен тому, который.производится в механике для вывода закона сохранения энергии. Именно, пишем:

дА дА dq дА dq _k дх¹ ~~ dq dx¹ dq L дх¹

Подставляя сюда (32,2) и замечая, что q_tkii = q_>itk, находим: да д / да \ да dq_t д / да \

дх* ~1^\^)^Ч'^{1 +} 1^_к^^1х^у'¹~дд~)'

Заменив в левой стороне равенства

да _{= flfc} да дх^{1 1} дх^к

Ц = Ч,1-^-Ь^кА, (32,3)

^{и введя обозначение}

tk = n .

^d<l,k

напишем полученное соотношение в виде

^-0. (32,4)

Если имеется не одна, а несколько величин qv\ то вместо (32,3) надо, очевидно, писать:

^S^-^ (32,5)

Мы видели в § 29, что уравнение вида дА^к/дх^к = 0, т. е. ра­венство нулю 4-дивергенции вектора, эквивалентно утвержде­нию, что сохраняется интеграл ^ А^к dSk от этого вектора по ги­перповерхности, заключающей в себе все трехмерное простран­ство. Очевидно, что аналогичное утверждение справедливо и для тензора: уравнение "(32,4) эквивалентно утверждению, что Сохраняется вектор

Р' = const ^T^lkdS_k.

Этот вектор и должен быть отождествлен с 4-импульсом си­стемы. Постоянный множитель перед интегралом мы выберем так, чтобы временная компонента Р° в соответствии с прежним определением была равна энергии системы, деленной на с. Для этого замечаем, что

^{Р° = const J Tok dS}_k ^{= const J Г00 dV,}

?сли интегрирование производится по гиперплоскости х⁹ = const, ) другой стороны, согласно (32,3) имеем:

дц

ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА

111

(где q = dq/dt). В соответствии с обычной формулой, связы­вающей энергию с функцией Лагранжа, эту величину надо

рассматривать как плотность энергии, и поэтому ^Т^яУ есть

полная энергия системы. Таким образом, надо положить const = 1/с, и мы получаем окончательно для 4-импульса си­стемы выражение

P<=ijr'*ds_ft. (32,6)

Тензор Г'* называется тензором энергии-импульса системы.

Необходимо заметить, что определение тензора T^ib по су­ществу не однозначно. Действительно, если Т^ш — тензор, опре­деленный согласно (32,3), то и всякий другой тензор вида

Т^1к-т--~ур^ш, 1р^ш = -гр^ш% (32,7)

удовлетворяет уравнению сохранения (32,4), так как тождест-венно-pj—jtp'*' = Q ввиду антисимметричности тензора ф'*' по

индексам k, i. Полный 4-импульс системы при этом вообще не изменится, так как согласно (6,17) имеем:

где интегрирование с правой стороны равенства производится по поверхности (обычной), «охватывающей» гиперповерхность, по которой производится интегрирование е левой стороны ра­венства. Эта поверхность находится, очевидно, на бесконечности трехмерного пространства, и, поскольку поле или частицы на бесконечности отсутствуют, интеграл равен нулю. Таким обра­зом, 4-импуЛьс системы является, как и следовало, однозначно определенной величиной.

Для однозначного же определения тензора 7*'* можно вос­пользоваться требованием, чтобы 4-тензор момента имнуяьса (§ 14) выражался через 4-импульс посредством

^{Mi% = J (х{ dPk-}_x^{kdPi) = ~^ (х'Г** - xkTn) dS}_t^{, (32,8)}

т. е. так, чтобы его плотность выражалась через плотность им­пульса обычной формулой.

Легко найти, какому условию должен для этого удовлетво­рять тензор энергии-импульса. Закон сохранения момента мо­жет быть выражен, как мы уже знаем, равенством нулю диве$и генции подынтегрального выражения в М^!к. Таким образом,

(х'Т^к1 - x^kT^il) = 0. (32,9)

Замечая, что дх¹1дх¹ = Ь\ и дТ^к1/дх¹ = 0, находим: Ь\Т^и — д^кТ^а = T^kl — T^tk = О,

или

T^ik = T^ki, (32,10)

т. е. тензор энергии-импульса должен быть симметричен.

Заметим, что тензор Т'^к, определенный формулой (32,5), во­обще говоря, не симметричен, но может быть сделан таковым заменой (32,7) с надлежащим образом выбранным В даль­нейшем (§ 94) мы увидим, что существует способ непосредствен­ного получения симметричного тензора T^ik.

Как уже упоминалось выше, если производить интегрирова­ние в (32,6) по гиперплоскости х° = const, то Р¹ приобретает вид

Р¹ =l^T^iodV, (32,11)

где интегрирование производится по всему пространству (трех­мерному). Пространственные компоненты Р' образуют трехмер­ный вектор импульса системы, а временная компонента есть деленная на с ее энергия. Поэтому вектор с составляющими

JL ую _L т"²⁰ — 7"³⁰ с ' с ' с

можно назвать плотностью импульса, а величину

W = Т^ои

можно рассматривать как плотность энергии.

Для выяснения смысла остальных компонент Т'^к напишем уравнения сохранения (32,4), отделив в них пространственные и временные производные:

1 дТ⁰⁰ дТ°^а 1 г)Т^а0 г)Т^а&

-■^— + ^— = 0, + £Ц- = о. (32,12)

с dt дх^а с dt дх* ^К '

Проинтегрируем эти уравнения по некоторому объему простран­ства V. Из первого имеем:

- — ( T°^adV+ [^-dV==0, с dt J J дх^а

или, преобразуя второй интеграл по (трехмерной) теореме Гаусса,

А ^ Т⁰⁰ dV = - с ф Т^0а df_a, (32,13)

где интеграл справа берется по поверхности, охватывающей объем V (df_x, d\_y, d]_z— компоненты трехмерного вектора эле­мента поверхности d\). В левой стороне равенства (32,13) стоит скорость изменения энергии, находящейся в объеме V. Отсюда видно, что выражение справа есть количество энергии, проте­кающий через границу этого объема, а вектор S с составляю­щими

сТ⁰¹, сТ°\ сТ⁰³

есть плотность этого потока — количество энергии, протекающей в единицу времени через единицу поверхности. Таким образом, мы приходим к важному выводу о том, что требования реляти­вистской инвариантности, заключенные в тензорном характере величин T^ik, автоматически приводят к определенной связи между потоком энергии и импульсом: плотность потока энергии равна плотности импульса, умноженной на с².

Из второго уравнения (32,12) аналогичным путем находим:

-§_F^T^a0dV=-§T'#df_fi. (32,14)

Слева стоит изменение импульса системы в объеме V в единицу времени; поэтому ф Г^ар df^ есть количество импульса, вытекаю­щее в единицу времени из этого объема. Таким образом, ком­поненты Т^а$ тензора энергии-импульса составляют трехмерный тензор плотности потока импульса; обозначим его через —о_а?> где оаэ —так называемый тензор напряжений. Плотность по­тока энергии есть вектор; плотность же потока импульса, ко­торый сам по себе есть вектор, должна, очевидно, быть тензо­ром (компонента 7_ар этого тензора есть количество <х-й компо­ненты импульса, протекающее в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярную к оси х$).

Выпишем еще раз таблицу, указывающую смысл различных компонент тензора энергии-импульса:

(W S_x/c Sylc S_z/c\

Sxfc -a_xx -a_xy -a„ 1 ₍₃₂ g

^SUlC —Vyx —Oyy —вуг J \ > l

S_z/c —Gzx —Ozy —<*zz '