Глава IV

УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

§ 26. Первая пара уравнений Максвелла

Из выражений

Н = rot А, Е = — —— gradcp

легко получить уравнения, содержащие только Е и Н. Для этогв определим rot Е:

I &

rot Е = — — -0J- rot А — rot grad q>.

Но ротор всякого градиента равен нулю; следовательно,

^{rotE=-4-fJ.. (26,1)}

Взяв дивергенцию от обеих частей уравнения rot А = Н и помня, что дивергенция всякого ротора равна нулю, находим!

divH = 0. (26,2)

Уравнения (26,1—2) составляют первую пару уравнений Максвелла¹). Заметим, что эти два уравнения еще не опреде­ляют вполне свойства поля. Это видно уже из того, что они определяют изменение магнитного поля со временем (производ­ную dH/dt), но не определяют производной dE/dt.

Уравнения (26,1—2) можно написать в интегральной форме. Согласно теореме Гаусса

$ div Н дУ = § Н dt,

где интеграл справа берется по всей замкнутой поверхности, охватывающей объем, по которому взят интеграл слева. На осно­вании (26,2) имеем:

<§Hdf = 0. (26,3)

1) Уравнения Максвелла — основные уравнения электродинамики — была впервые сформулированы Дж, Максвеллом в 1860-х годах.

Интеграл от вектора по некоторой поверхности называется по­током вектора через эту поверхность. Таким образом, поток магнитного поля через всякую замкнутую поверхность равен нулю, '

Согласно теореме Стокса

JrotEdf = §Edl,

где интеграл справа берется по замкнутому контуру, огибаю­щему поверхность, по которой интегрируется слева. Из (26,1) находим, интегрируя обе части по некоторой поверхности:

§Edl = -±-§_r^<\Hdt (26,4)

Интеграл вектора по замкнутому контуру называется циркуля­цией этого вектора по контуру. Циркуляцию электрического поля называют также электродвижущей силой в данном кон­туре. Таким образом, электродвижущая сила в некотором кон­туре равна взятой с обратным знаком производной по времени от потока магнитного поля через поверхность, ограничиваемую этим контуром.

Уравнения Максвелла (26,1—2) можно написать и в четы­рехмерных обозначениях. Исходя из определения тензора элек­тромагнитного поля

дА. дА.

р __ в £.

'* дх¹ dx^k '

легко убедиться, что

^jr+-уу-+yt⁼°- (ад

дх¹ дх¹ дх^к

Выражение, стоящее в левой стороне равенства, представляет собой тензор третьего ранга, антисимметричный по всем трем индексам. Его компоненты не равны тождественно нулю лишь при 1фкф1. Всего, таким образом, имеется четыре различных уравнения, которые, как легко убедиться подстановкой выраже­ний (23,5), совпадают с уравнениями (26,1—2).

Антисимметричному 4-тензору третьего ранга можно при­вести в соответствие дуальный ему 4-вектор, получающийся умножением тензора на e^iklm и упрощением по трем парам ин­дексов (см. § 6). Таким образом, (26,5) можно написать в виде

яр

_e№_Ji _{= 0}, (26,6)

явно выражающем тот факт, что здесь имеется всего четыре не­зависимых уравнения.

§ 27. Действие для электромагнитного поля

Действие 5 для всей системы, состоящей из электромагнит­ного поля вместе с находящимися в нем частицами, должно со­стоять из трех частей:

S = S_f + S_m + S_mf. (27,1)

S_m есть та часть действия, которая зависит только от свойств частиц, т. е. действие для свободных частиц. Для одной свобод­ной частицы оно дается формулой (8,1). Если имеется несколько частиц, то их общее действие равно сумме действий для каждой частицы в отдельности. Таким образом,

л

^S_m ^{= — y,mc\ds- С27-2)}

Smf есть та часть действия, которая обусловлена взаимодей- ствием между частицами и полем. Согласно § 16 имеем для системы частиц:

S_n* =-£ 7$ Лк(27,3)

В каждом из членов этой суммы A_k есть потенциал поля в той точке пространства и времени, в которой находится соответ­ствующая частица. Сумма Sm + Smf— уже известное нам дей­ствие (16,1) для зарядов в поле.

Наконец, Sf есть та часть действия, которая зависит только от свойств самого поля, т. е. Sf— действие для поля в отсут­ствие зарядов. До тех пор, пока мы интересовались только дви­жением зарядов в заданном электромагнитном поле, 5/, как не зависящее от частиц, нас не интересовало, так как этот член не мог повлиять на уравнения движения частицы. Он становится, однако, необходимым, когда мы хотим найти уравнения, опреде­ляющие само поле. Этому соответствует то обстоятельство, что из части Sm + S_mf действия мы нашли только два уравнения, (26,1—2), которые еще недостаточны для полного определения поля.

Для установления вида действия поля Sf мы будем исходить из следующего весьма важного свойства электромагнитных по­лей. Как показывает опыт, электромагнитное поле подчиняется так называемому принципу суперпозиции: поле, создаваемое системой зарядов, представляет собой результат простого сло­жения полей, которые создаются каждым из зарядов в отдель­ности. Это значит, что напряженности результирующего поля в каждой точке равны сумме (векторной) напряженностей в этой точке каждого из полей в отдельности.

Всякое решение уравнений поля является полем, которое может быть осуществлено в природе. Согласно принципу супер­позиции сумма любых таких полей тоже должна быть полем, которое может быть осуществлено в природе, т. е. должно удов­летворять уравнениям поля.

Как известно, линейные дифференциальные уравнения, как раз отличаются тем свойством, что сумма любых его решений тоже является решением. Следовательно, уравнения для поля должны быть линейными дифференциальными уравнениями.

Из сказанного следует, что под знаком интеграла в действии Sj должно стоять выражение, квадратичное по полю. Только в этом случае уравнения поля будут линейными, — уравнения поля получаются варьированием действия, а при варьировании степень подынтегрального выражения понижается на единицу.

В выражение для действия 5/ не могут входить потенциалы поля, так как- они не определены однозначно (в S_mj эта неод­нозначность была не существенна). Поэтому Sf должно быть интегралом некоторой функции от тензора электромагнитного поля Fa,. Но действие должно быть скаляром *и потому должно быть интегралов от некоторого скаляра. Таковым является лишь произведение FihF^ikl).

Таким образом, 5/ должно иметь вид

S_f = a^F_ibF^ikdVdt, dV = dxdt/dz,

где интеграл берется по координатам по всему пространству, а по времени—между двумя заданными моментами; а есть не­которая постоянная. Под интегралом стоит Fa,F^ik = 2(Н² — £²). Поле Е содержит производную dA/dt. Но легко видеть, что (dA/dt)² должно входить в действие с положительным знаком (а потому в Е² с положительным знаком). Действительно, если бы (dA/dt}² входило в Sf со знаком минус, то достаточно быст­рым изменением потенциала со временем (в рассматриваемом итерваде времени) всегда можно было бы сделать Sf отрица­тельной величиной со сколь угодно большим абсолютным значе­нием; Sf не могло бы, следовательно, иметь минимума, как

') Подынтегральная функция в Sj не должна содержать производных от Fa,, так как в функцию Лагранжа могут входить, помимо координат си­стемы, только их первые производные по времени, а роль «координат» (т. е. переменных, по которым производится варьирование в принципе наимень­шего действия) играют в этом случае потенциалы А_к поля; это аналогично тому, что в механике функция Лагранжа для механической системы содер­жит только координаты частиц и их первые производные во времени.

Что касается величины e^ittmFi^Fi_m (§ 25), то она является (как было отмечено в примечании на стр. 92) полной 4-дивергенцией, и поэтому ее добавление в подынтегральное выражение в вообще не отразилось бы на «уравнениях движения». Интересно, что тем самым эта величина исклю­чается из действия уже независимо от того обстоятельства, что она пред­ставляет собой не истинный, а псевдоскаляр.

этого требует принцип наименьшего действия. Таким образом, а должно быть отрицательным.

Численное значение а зависит от выбора единиц для измере­ния поля. Заметим, что после выбора определенного значения а вместе с единицами для измерения поля определяются также и единицы для измерения всех остальных электромагнитных ве­личин.

Мы будем в дальнейшем пользоваться так называемой гаус­совой системой единиц; в этой системе а есть безразмерная ве­личина, равная —1/16л¹).

Таким образом, действие для поля имеет вид

Sf^-^-^FikF'^dQ, dQ = cdtdxdydz. (27,4)

В трехмерном виде:

S_f=-~\[(E²-H^z)dVdt. (27,5)

Другими словами, функция Лагранжа электромагнитного поля

L_f=±-\{E>-H*)dV. (27,6)

Действие для поля вместе с находящимися в нем зарядами имеет вид

^s - - Л $^mcds - I \ т ^A*^dxk ~тк \ ^Р*Р" ^dQ- <²⁷«⁷>

Подчеркнем, что теперь уже заряды отнюдь не считаются малыми; как при выводе уравнений движения заряда в задан­ном поле. Поэтому А_к и Fi_k относятся к истинному полю, т. е. внешнему полю вместе с полем, созданным самими зарядами;; А_к и Fik зависят теперь от положения и скорости зарядов.

{; § 28. Четырехмерный вектор тока

Вместо того чтобы рассматривать заряды как точечные, в целях математического удобства часто рассматривают заряд как распределенный в пространстве непрерывным образом. Тогда можно ввести плотность заряда р так, что pdV есть заряд, находящийся в объеме dV; р есть, вообще говоря, функция от координат и времени. Интеграл от р по некоторому объему есть заряд, находящийся в этом объеме.

') Наряду с гауссовой системой единиц пользуются также и так назы­ваемой системой Хевисайда, в которой а = —1/4. В этой системе единиц имеют более удобный вид уравнения поля (в них не входит тогда 4л), п& зато 4я входит в закон Кулона. Напротив, в гауссовой системе единиц урав­нения поля содержат 4я, а закон Кулона имеет простой вид.

При этом надо помнить, что в действительности заряды яв­ляются точечными, так что плотность о равна нулю везде, кроме

тех точек, где находятся точечные заряды, а интеграл ^ pdV

должен быть равен сумме тех зарядов, которые находятся в данном объеме. Поэтому р можно написать с помощью б-функ-ций¹) в следующем виде:

Р=£е_а6(г-г_й), (28,1)

а

где сумма берется по всем имеющимся зарядам, а г_а — радиус-вектор заряда е_а.

Заряд частицы есть, по самому своему определению, вели­чина инвариантная, т. е. не зависящая от выбора системы от-

') 6-фушшия д(х) определяется следующим образом: б(*)=0 при всех не раьных нулю значениях х; при х = 0 6(0) = tx>, причем так, что интеграл

^ 6(x)dx=l. (1)

Из этого определения вытекают следующие свойства: если {(х) — любая непрерывная функция, то

jj / (х) б (л: - a) dx = f (а); (2)

в частности,

^{J f(x)6(x)dx-f(0)}

(3)

(пределы интегрирования, разумеется, не обязательно должны быть ±оо; об­ластью интегрирования может быть любая область, заключающая ту точку, в которой 6-фушшия не исчезает):

Смысл следующих равенств заключается в том, что их левая и правая части дают одинаковые результаты, если их применять в качестве множи­телей под знаком интегрирования:

б (- х) = б (х), 6 (ах) = -~ 6 (х). (А)

Последнее равенство является частным случаем более общего соотношения

^в1»<*»-Ет71^^в (*--«)• ⁽⁵⁾

где <г (*)—однозначная функция (обратная ей функция не обязана быть однозначной), а а, — корни уравнения <г(х) = 0.

Подобно тому как 6(х) определена для одной переменной х, .можно ввести трехмерную б-функцию б (г), равную нулю везде, кроме начала трех­мерной системы координат, и интеграл которой по всему пространству ра­вен 1. Такую функцию можно, конечно, представить как произведение Ь{х)Ь{у)Ь(г).