§ 24. Преобразование Лоренца для поля

Напишем формулы преобразования для поля, т. е. формулы, по которым можно определить поле в одной инерциальной си­стеме отсчета, зная это же поле в другой системе.

Формулы преобразования для потенциалов находятся непо­средственно из общих формул преобразования 4-вектора (6,1). Помня, что Л' = (ф, А), находим:

Ф Ч А_х А_х-\ ф

^ф= _; ^{' „, ■ л,= . ' , . а~а;. а,-л;. (24,к}

Формулы преобразования для антисимметричного 4-тензора второго ранга (каковым является тензор F^ik) найдены в за­даче 2 § 6: компоненты F²³ и F⁰¹ не меняются при преобразова­нии, а компоненты f⁰², F⁰³ и F¹², F¹³ преобразуются соответ­ственно как х° и дс¹. Выразив компоненты тензора F^ih через компоненты полей Е и Н согласно (23,5), получим следующие формулы преобразования для электрического поля:

	е, //,. _ 2 с ч
//„ е, У с 2	н'+—е'

Е_я-к. g_y- , \„ • Е₂= , ^с„, (24,2)

и для магнитного ПОЛЯ!

Н_Х = Н'_Х, /У,- "-1^. Н= '-JL^. (24,3)

Таким образом, электрическое и магнитное поля, как и боль­шинство физических величин, относительны, т. е. их свойства различны в разных системах отсчета. В частности, электрическое или магнитное поле может быть равно нулю в одной системе отсчета и в то же время присутствовать в другой системе.

5 25] Инварианты поля 91

Формулы преобразования (24,2—3) значительно упрощаются для случая V ■< с. С точностью до членов порядка V/c имеем:

Р — F' F =£" -Х- — Н' F —F' — И' •

"х = к> Н_и = Н_у-^Е'_г, Н-Н'. + ^Е*,. Эти формулы могут быть написаны в векторном виде;

E = E' + -^[H'V], H = H'--i-[E'V]. (24,4)

Формулы обратного преобразования от К' к К получаются из (24,2—4) перестановкой штриха и изменением знака у V.

Если в системе К' магнитное поле Н' = 0, то, согласно (24,2—3), между электрическим и магнитным полями в системе К существует соотношение

H = |[VE]. (24,5)

Если же в К' поле Е' = 0, то в системе К

E = -|[VH]. (24,6)

В обоих случаях, следовательно, в системе К магнитные и элек­трические поля взаимно перпендикулярны.

Эти формулы имеют, разумеется, и обратный смысл: если в некоторой системе отсчета К поля Е и Н взаимно перпенди­кулярны (но не равны по величине), то существует такая си­стема К', в которой поле чисто электрическое или чисто магнит­ное. Скорость V этой системы (по отношению к К) может быть выбрана перпендикулярной к Е и Н, тогда по величине она рав­на в первом случае сН/Е (причем должно быть Н <Е), а во втором случае сЕ/Н (причем Е < Н).