§ 23. Тензор электромагнитного поля

В § 17 мы вывели уравнения движения заряда в поле, исходя из функции Лагранжа (16,4), написанной в трехмерном виде. Выведем теперь те же уравнения непосредственно из действия (16,1), написанного в четырехмерных обозначениях.

Принцип наименьшего действия гласит ь

65

^{= 6 jj ^—mcds~~AidxiSj = Q. (23,1)}

Замечая, что ds = ^dx^x¹¹, находим (пределы интегрирования с и Ь мы будем ниже для краткости опускать):

Г / dx, dbx¹ е , е Д

^{6S =} - K^mc ~~+ т ^A'^d6x + т ^bA^dx)=о.

Первые два члена в подынтегральном выражении проинте­грируем по частям. Кроме того, в первом члене введем 4-ско-рость dxi/ds = щ. Тогда

^{J [mc du}_t ^{Ьх1 -+ у б*'" dA}_t ^{- j-bA}_{ ^{dx1} - [тещ + -^'Л,) б*' = 0.}

(23,2)

Второй член этого равенства равен нулю, так как интеграл варьируется при заданных значениях координат на пределах. Далее,

дА, . дА, .

ЬА^ЬА dA^dx\

и поэтому

Kmc dUi Ьх¹ + - —t- Ьх¹ dx^k--^r dx¹6x^k>\ = 0. ' с дх^к с dx^k J

du.

Напишем в первом члене du^—^-ds^ во втором и третьем

dx¹ — и¹ ds. Кроме того, в третьем члене поменяем местами ин­дексы i и k (это ничего не изменит, так как по значкам i и к производится суммирование). Тогда

Г Г du. е / дА_и дА, \ . 1 ,

\ I тс — --(—£■ МиЧ bx^lds = 0.

J L ds с \дх¹ dx^k) J

Ввиду произвольности Ьх¹ отсюда следует, что подынтегральное выражение равно нулю:

du. е / дА. дА. \ _t

Введем обозначение

дА.

дх¹

дА_{ дх^к '

(23,3)

этот антисимметричный тензор называется тензором электро­магнитного поля. Тогда полученное уравнение напишется в виде

тс­

ds

(23,4)

Короче, можно написать (см. § 6):

F_ik = (E, Н), F^ik = (-E, Н).

Таким образом, компоненты напряженностей электрического и магнитного полей являются компонентами одного 4-тензора электромагнитного поля.

Переходя к трехмерным обозначениям, легко убедиться в том, что три пространственные компоненты (i=l, 2, 3) урав­нения (23,4) тождественны с векторным уравнением движения (17,5), а временная компонента (t = 0) — с уравнением работы (17,7). Последнее есть следствие уравнения движения; тот факт, что из четырех уравнений (23,4) только три независимы, можно легко обнаружить также и непосредственно, умножив обе сто­роны (23,4) на и'. Тогда левая сторона равенства обратится в нуль ввиду ортогональности 4-векторов и' и dui/ds, а правая сторона — ввиду антисимметричности тензора Fik-

Если рассматривать в вариации 65 только истинные траек­тории, то первый член в (23,2) тождественно обратится в нуль. Тогда второй член, в котором верхний предел рассматривается как переменный, дает дифференциал действия как функции ко­ординат. Таким образом,

65 = — [тещ + -j Л,)

(23,6)

Отсюда

dS , е . , е .

-— = _mCu_l + ₇A_l = p_i + ₇A_i.

(23,7)

4-вектор— dS/дх¹ есть 4-вектор обобщенного импульса ча­стицы Pi. Подставляя значения компонент pi и Л;, найдем, что

pi ₌^ *н-±£$., _{р +} Ла). (23,8)

Как и следовало, пространственные компоненты 4-вектора Pt образуют трехмерный вектор обобщенного импульса (16,5), а временная компонента есть &/с, где & — полная энергия заряда в поле.