1. Определить релятивистское движение заряда в параллельных одно­родных электрическом и магнитном полях.

Решение. Магнитное поле не влияет на движение вдоль совместного направления Е и Н (ось г), которое происходит, следовательно, иод дей­ствием одного лишь электрического поля; поэтому согласно § 20 находим:

^k„h = V^0 + (^)².

еЕ

Для движения в плоскости ху имеем уравнения:

Px=^~Hvy, p_y = — ^-Hv_x,

i

d . . . . еИ , , . . IeHc . . . -JT<,Px + lpy) = — l — (°x + IVy) = — -jz (Px + iPy).

ul с ©КИН

Отсюда

где pt — постоянное значение проекции импульса на плоскость ху, а вспомо­гательная величина <р введена согласно соотношению

. „ dt

откуда

Далее имеем: откуда

ср. ср.

x = -~siny, у =-^-cosq. (2)

Формулы (1—2) вместе с формулой

^г==1Г^сЬя^{ф <3)}

определяют в параметрическом виде движение частицы. Траектория пред­ставляет собой винтовую линию с радиусом cpi/eH и монотонно возрастаю­щим шагом, по которой частица движется с убывающей угловой скоростью ф = еНс/Жкяв и стремящейся к с скоростью вдоль оси г.

2. Определить релятивистское движение заряда во взаимно перпенди­кулярных и равных по величине электрическом и магнитном полях1).

Решение. Выбирая ось z вдоль направления Н, а ось у — в направ­лении Е и полагая Е — Н, напишем уравнения движения:

dp_x е _ dp ( v_x\ dp_z

~2Т⁼ ~c ^y' -W ^{= eE}\}--)' -dT ^{= 0}

') Задача о движении во взаимно перпендикулярных, но не одинаковых по величине полях Е и Н надлежащим преобразованием системы отсчета сво­дится к задаче о движении в чисто электрическом или чисто магнитном поле {см. § 25).

и, как их следствие, уравнение (17,7):

' кин

= eEt}_u

dt

Из этих уравнений имеем:

р_г = const, & кин ~ СРх = Const ss а.

Используя также равенство

Кш - <?Р\ = (Кш + с_Рх) (^_кив - ср_к) = сУ_у + г² (где е² =■ т²с* + с²р\ = const), находим:

И затем!

*кнн + Ф,=4(^ + е²). „ _« _{+ С}²Р² + е²

2 ' 2а

а с²Ру + е^{2 Pjt==} 2с ⁺ 2ас '

Далее пишем!

dp_u

"у

⁷*™-~dT

( ^кяурх \

■■ еЕ I ^кин — ] = еЕ(8_КЯн — ср_х) = еЕа,

вткуда

Для определения траектории в уравнениях

dx _ с²р_х

dt &квн' "'

переходим к переменной р_у согласно dt = B^dpyteEa, после чего интегри­рование приводит к формулам

с* г _ PzC^{2 (} '

^У=* 2аеЕ ^РУ ^{2 —} еЕа ^РУ

Формулы (1—2) полностью определяют в параметрическом виде (пара­метр ру) движение частицы. Обратим внимание на то, что наиболее быстро возрастает скорость движения в направлении, перпендикулярном Е и Н (ось х).

3. Определить скорость дрейфа ведущего центра орбиты нерелятивист­ской заряженной частицы в квазиоднородном постоянном магнитном поле (я. Alfven, 1940).

Решение. Предположим сначала, что частица движется по круговой орбите, т. е. ее скорость не имеет продольной (вдоль поля) составляющей. Представим уравнение траектории частицы в виде r=R(/)-{-£(*), где Ж/)—¹ радиус-вектор ведущего центра (медленно меняющаяся функция времени), а w\ ^— быстро осциллирующая величина, изображающая вращательное двв>

Жение вокруг ведущего центра. Усредним действующую' на частицу -силу в *

— [гН(г)] по периоду осцилляционного (кругового) движения (ср. I § 30).

Входящую в нее функцию Н (г) разложим по степеням £:

Н (г) = Н (R) + (£V) Н (R).

При усреднении члены первого порядка по осциллирующей величине %(t) обращаются в нуль, а член второго порядка приводит к появлению допол­нительной силы

t=yie(sv)H].

Для кругового движения

4 = со[£п], £=-^Ь со

где п — единичный вектор в направлении Н; частота со = еН/тс; v_± — ско­рость частицы в ее круговом движении. Среднее значение произведений ком­понент вектора £, вращающегося в плоскости (перпендикулярной к п):

^{где б}_а^{р — единичный тензор в этой плоскости. В результате получим:}

то²,

i=--27^UnV]H].

В силу уравнений div Н = 0, rot Н = 0, которым удовлетворяет постоянное поле H(R), имеем:

[[nV] Н] = - n div Н + (nV) Н + [n rot Н] = (nV) Н = Н (nV) n + n (nV#).

Нас интересует поперечная (по отношению к п) сила, приводящая к сме­щению орбиты; она равна

то², то²,

_I=__i_(nV)n==_i_v,

где р — радиус кривизны силовой линии поля в данной точке, а v — единич­ный вектор, направленный от центра кривизны к этой точке.

Случай, когда частица обладает также и продольной (вдоль п) ско­ростью Оц, сводится к предыдущему, если перейти к системе отсчета, вра­щающейся вокруг мгновенного центра кривизны силовой линии (траектории ведущего центра) с угловой скоростью »ц/р. В этой системе частица не имеет продольной скорости, но появляется дополнительная поперечная сила — центробежная сила, равная xtnv²Jp, Таким образом, полная поперечная сила

Эта сила эквивалентна постоянному электрическому полю с напряжен­ностью fj^/e. Согласно (22,4) она вызывает дрейф ведущего центра орбиты со скоростью

Знак этой скорости зависит от знака заряда.