§ 22. Движение заряда в постоянных однородных электрическом и магнитном полях

Наконец, рассмотрим движение заряда в случае одновремен­ного наличия однородных и постоянных электрического и маг­нитного полей. Мы ограничимся при этом нерелятивистским слу­чаем, когда скорость заряда v <С с, и потому его импульс р == = mv; как мы увидим ниже, для этого необходимо, чтобы элек­трическое поле было мало по сравнению с магнитным.

Направление Н выберем за ось г, а плоскость, проходящую через векторы Н и Е, за плоскость yz. Тогда уравнения дви­жения

CTv = eE + j[vH]

напишутся в виде

тх = — уН,

mg = eE_e—j*H, (22,1)

mz = еЕ_г.

Из третьего уравнения видно, что вдоль оси z заряд движется равномерно-ускоренно, т. е.

Умножая второе из уравнений (22,1) на t и складывая с первым, находим:

■37- (* + У) + (* + W) ^==l-_m-^Ey

(со = еН/тс). Интеграл этого уравнения, где x-\-iy рассматри­вается как неизвестное, равен сумме интеграла этого же уравне­ния без правой части и частного интеграла уравнения с правой частью. Первый из них есть аег^ш, второй равен еЕ_у/ти> = = сЕу/Н. Таким образом,

x-{-iy = ae-^te>t + -₇f-.

Постоянная а, вообще говоря, комплексная. Написав ее в виде а = Ье^ш с вещественными & и а, мы видим, что поскольку а ум­ножается на е~^ш, то, выбирая соответствующим образом на­чало отсчета времени, мы можем придать фазе а любое значе­ние. Выберем ее так, чтобы а было вещественно. Тогда, отделяя в x-\-iy мнимую и вещественную части, находим:

х = a cos Ы -f- с -jj-, у = —a sin cor. (22,3)

При этом в момент времени t = О скорость направлена по оси х. Мы видим, что компоненты скорости частицы являются пер.ио­

У = 0.

X = -

дическими функциями времени; их средние значения равны

я

Эту среднюю скорость движения заряда в скрещенных электри­ческом и магнитном полях часто называют скоростью электри­ческого дрейфа. Ее направление перпендикулярно к обоим полям и не зависит от знака заряда. В векторном виде ее можно за­писать как-

v — £lMi Я²

(22,4)

Я

Все формулы этого параграфа применимы, еслл скорость части­цы мала по сравнению со ско­ростью света; мы видим, что для этого требуется, в частно­сти, чтобы электрическое и маг­нитное поля удовлетворяли усло­вию

(22,5)

абсолютные же величины Е_у и Н могут быть произвольными. Интегрируя еще раз уравнения (22,3) и выбирая постоянные интегрирования так, чтобы при t = 0 было х = у = 0, получаем:

со

а сЕ_у

х — — sin со/ + -7т-1,

" (22,6)

y = -^(cosco/ — 1).

Рассматриваемые как параметрические уравнения кривой, эти уравнения определяют собой так называемую трохоиду. В зависимости то того, больше или меньше абсолютная вели­чина а, чем абсолютная величина сЕ_у/Н, проекция траектории частицы на плоскость ху имеет вид, изображенный соответствен­но на рис. 6, а и рис. 6,6.

Если а = —сЕ_у/Н, то (22,6) переходит в

сЕ_у

X = (со/ — sin со/),

сЕ_и

у=-ш^ -^cos »о.

(22,7)

т. е. проекция траектории на плоскость ху является циклоидой (рис. 6,в).

..Задачи