§ 21. Движение в постоянном однородном магнитном поле

Рассмотрим теперь движение заряда е в однородном маг­нитном поле Н. Направление поля выберем за ось г. Уравнения движения

p = i-[vH]

мы перепишем в другом виде, подставив вместо импульса

где 8 — энергия частицы, которая в магнитном поле постоянна. Уравнения движения приобретают тогда вид

или, в компонентах,

v_x = m_y, v_g = — <i>v_x, v_z = Q (21,2)

где мы ввели обозначение

есН

Умножим второе из уравнений (21,2) на i и сложим с пер­вым:

~ (v_x + lv_y) = —1ф_х + iv_s),

откуда

v_x + iv_ff = ae~^iiat,

где а — комплексная постоянная. Ее можно написать в виде •а = o₀te~^ia, где v_Qt и а вещественны. Тогда

v_x + iv_y = v_ote-ⁱ^^t+^a\

и, отделяя действительную и мнимую части, находим:

^vx = ^vot ^co^s (и>/ + a), v_y = — y_0f sin (со/ -f a). (21,4)

Постоянные y₀( и a определяются начальными условиями, a есть начальная фаза; что же касается v₀t, то из <.21,4) видно, что

v = л/V^й + v²,

0< Л/ X ~ "у »

т. е. vat есть скорость частицы в плоскости ху, остающаяся при движении постоянной.

Из (21,4) находим, интегрируя еще раз:

х = х₀ + г sin (со/ + а), у = у₀ + г cos (со/ + а), (21,5)

где

со ее// еН ^ ' '

(pt— проекция импульса на плоскость ху). Из третьего урав­нения (21,2) находим: v_z = v_0z и

z = z₀+v,_zt. (21,7)

Из (21,5)и (21,7) видно, что заряд движется в однородном магнитном поле по винтовой линии с осью вдоль магнитного поля и с радиусом г, определяемым (21,6). Скорость частицы при этом постоянна по величине. В частном случае, когда Voz = = 0, т. е. заряд не имеет скорости вдоль поля, он движется по окружности в плоскости, перпендикулярной к полю.

Величина со, как видно из формул, есть циклическая частота вращения частицы в плоскости, перпендикулярной к полю.

Если скорость частицы мала, то мы можем приближенно положить & = тс². Тогда частота со превращается в

со = —. (21,8)

тс \ > /

Предположим теперь, что магнитное поле, оставаясь одно­родным, медленно изменяется по величине и направлению. Вы­ясним, как меняется при этом движение заряженной частицы.

Как известно, при медленном изменении условий движения остаются постоянными так называемые адиабатические инва­рианты. Поскольку движение в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, периодично, то адиабатическим инвариантом является интеграл

взятый по полному периоду движения, в данном случае по окружности (Р< — проекция обобщенного импульса на указан­ную плоскость)¹). Подставляя P_t — p_t-\- — \, имеем:

В первом члене замечаем, что pt постоянно по абсолютной величине и направлено по ofr; ко второму применяем теорему Стокса и заменяем rot А == Н:

^{1 = г}р?—&^нг*>

где г — радиус орбиты²). Подставляя в это равенство выраже­ние для г (21,6), находим:

_{'-■от- <ад}

Отсюда видно, что при медленном изменении Я поперечный им­пульс p_t меняется пропорционально л]Н.

') См. 1 § 49. Адиабатическими инвариантами являются вообще инте­гралы ф р dq, взятые по периоду изменения данной координаты q. В рас­сматриваемом случае периоды по двум координатам — в плоскости, перпен­дикулярной к Н, — совпадают и написанный интеграл / представляет собой сумму двух соответствующих адиабатических инвариантов. Однако каждый из этих инвариантов в отдельности не имеет особого смысла, так как за­висит от неоднозначного выбора векторного потенциала поля. Проистекаю­щая отсюда неоднозначность адиабатических инвариантов отражает тот факт, что, рассматривая магнитное поле как однородное во всем пространстве, в принципе нельзя определить возникающее вследствие переменности Н электрическое поле, зависящее в действительности от конкретных условий на бесконечности.

²) Проследив за направлением обхода контура орбиты движущимся по­ложительным зарядом, убедимся, что он происходит против часовой стрел­ки, если смотреть вдоль Н. Отсюда знак минус во втором члене.

Этот результат можно применить и к другому случаю — когда частица движется по винтовой линии в постояном, но не вполне однородном магнитном поле (поле мало меняется на расстояниях, сравнимых с радиусом и шагом винтовой орбиты). Такое движение можно рассматривать как движение по круго­вой орбите, смещающейся с течением времени, а по отношению

82

ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАгнитном полв

1ГЛ. lit

к этой орбите поле как бы меняется со временем, оставаясь однородным. Тогда можно утверждать, что поперечная (по от­ношению к направлению поля) компонента импульса меняется по закону p_t — <\/CH, где С — постоянная, а Я — заданная функция координат. С другой стороны, как и при движении во всяком постоянном магнитном поле, энергия частицы (а с нею и квадрат ее импульса р²) остается постоянной. Поэтому про­дольная компонента импульса меняется по закону

PJ = p²-p² = p²-CH(x, у, г). (21,10)

Поскольку всегда должно быть р\ ^ 0, то отсюда видно, что проникновение частицы в области достаточно сильного поля (СН > р²) оказывается невозможным. При движении в направ­лении увеличивающегося поля радиус винтовой траектории убы­вает пропорционально pt/H (т. е. пропорционально l/Уя), а ее Шаг — пропорционально pt, При достижении границы, на кото­рой pt обращается в нуль, частица отражается от нее: продол­жая вращаться в прежнем направлении, она начинает дви­гаться против градиента поля.

Неоднородность поля приводит также и к другому явле­нию— медленному поперечному смещению (дрейфу) ведущего центра винтовой траектории частицы (так называют в этой связи центр круговой орбиты); этому вопросу посвящена за­дача 3 к следующему параграфу.

Задача

Определить частоты колебаний заряженного пространственного осцилля­тора, находящегося в постоянном однородном магнитном поле; собственная частота колебаний осциллятора (при отсутствии поля) равна «Во-

Решение. Уравнения вынужденных колебаний осциллятора в магнит» иом поле (направленном вдоль оси г) имеют вид

Х + а1х=—у, (/ + <^(/ = - —X, 2 + 002 = 0.

Умножая второе уравнение на I и складывая с первым, получаема

еН тс

V,. , 1 /еН \2 , еЯ

где £ = * -f iy. Отсюда находим, что частоты колебаний осциллятора в пло­скости, перпендикулярной к полю, равны

Если поле Н мало, то эта формула переходит в Колебания вдоль направления поля остаются неизменными.