§ 18. Калибровочная инвариантность

Рассмотрим теперь вопрос о том, насколько однозначно опре­делены потенциалы поля. При этом следует учесть, что поле характеризуется тем действием, которое оно оказывает на дви­жение находящихся в нем зарядов. Но в уравнения движения (17,5) входят не потенциалы, а напряженности поля Е и Н. По­этому два поля физически тождественны, если они характери­зуются одними и теми же векторами Е и Н.

Если заданы потенциалы А и <р, то этим, согласно (17,3) и (17,4), вполне однозначно определены Е и Н, а значит и поле. Однако одному и тому же полю могут соответствовать различ­ные потенциалы. Чтобы убедиться в этом, прибавим к каждой компоненте потенциала А_к величину —df/dx^k, где / — произволь­ная функция от координат и времени. Тогда потенциал Ah пере­ходит в

^к-<".'>

При такой замене в интеграле действия (16,1) появится допол­нительный член, представляющий собой полный дифференциал:

±IL_dx^k = d(^f\ (18,2)

с дх^к \с j

что не влияет на уравнения движения (см. I § 2).

Если вместо четырехмерного потенциала ввести векторный и скалярный и вместо координат х' — координаты ct, х, у, г, то четыре равенства (18,1) можно написать в виде

A' = A + gradf, qr- = q>-i"§. (18,3)

Легко убедиться в том, что электрическое и магнитное поля, определенные равенствами (17,3—4), действительно не изме­няются при подстановке вместо А и ф потенциалов А' и ф', опре­деленных согласно (18,3). Таким образом, преобразование по­тенциалов (18,1) не изменяет поля. Потенциалы определены по­этому не однозначно — векторный потенциал определен с точ­ностью до градиента произвольной функции и скалярный — с точностью до производной по времени от той же функции.

В частности, к векторному потенциалу можно прибавить лю­бой постоянный вектор, а к скалярному потенциалу — любую постоянную. Это видно и непосредственно из того, что в опре­деление Е и Н входят только производные от А и ф, и потому прибавление к последним постоянных не влияет на напряжен­ности поля.

Физический смысл имеют лишь те величины, которые инва­риантны по отношению к преобразованию потенциалов (18,3);

поэтому все уравнения должны быть инвариантны по отноше­нию к этому преобразованию. Эту инвариантность называют калибровочной или градиентной (по-немецки ее называют Eichinvarianz, по-английски — gauge invariance)¹).

Описанная неоднозначность потенциалов дает всегда воз­можность выбрать их так, чтобы они удовлетворяли одному про­извольному дополнительному условию, — одному, так как мы можем произвольно выбрать одну функцию f в (18,3). В част­ности, всегда можно выбрать потенциалы поля так, чтобы ска­лярный потенциал ф был равен нулю. Сделать же векторный потенциал равным нулю, вообще говоря, невозможно, так как условие А = 0 представляет собой три дополнительных условия Ддля трех компонент А).

§ 19. Постоянное электромагнитное поле

Постоянным электромагнитным полем мы называем поле, не зависящее от времени. Очевидно, что потенциалы постоянного поля можно выбрать так, чтобы они были функциями только от координат, но не от времени. Постоянное магнитное поле по-прежнему равно H = rotA. Постоянное же электрическое поле

Е = — gradq). (19,1)

Таким образом, постоянное электрическое поле определяется только скалярным потенциалом, а магнитное — векторным по­тенциалом.

Мы видели в -предыдущем параграфе, что потенциалы поля определены не однозначно. Легко, однако, убедиться в том, что если описывать постоянное электромагнитное поле с помощью не зависящих от времени потенциалов, то к скалярному потен­циалу можно прибавить, не изменяя поля, лишь произвольную постоянную (не зависящую ни от координат, ни от времени). Обычно на ф накладывают еще дополнительное условие, требуя, чтобы он имел определенное значение в определенной точке пространства; чаще всего выбирают ф так,- чтобы он был равен нулю на бесконечности. Тогда и упомянутая произвольная по­стоянная становится определенной, и скалярный потенциал по­стоянного поля, таким образом, становится вполне однозначным.

Напротив, векторный потенциал по-прежнему не однозначен даже для постоянного электромагнитного поля; к нему можно прибавить градиент любой функции координат.

Определим, чему равна энергия заряда в постоянном электро­магнитном поле. Если поле постоянно, то и функция Лагранжа

') Подчеркнем, что этот результат связан с подразумевающимся в (18,2) постоянством е. Таким образом, калибровочная инвариантность уравнений электродинамики и сохранение заряда тесно связаны друг с другом.

ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

77

для заряда не зависит.явно от времени. Как. известно, в этом случае энергия сохраняется, совпадая с функцией Гамильтона. Согласно (16,6) имеем:

*= ^f-r+ap. (19,2)

Таким образом, вследствие наличия поля к энергии частицы, прибавляется член eq> — потенциальная энергия заряда в поле. Отметим существенное обстоятельство, что энергия зависит только от скалярного, но не от векторного потенциала. Другими словами, магнитное поле не влияет на энергию зарядов; энергию частицы может изменить только электрическое поле. Это свя­зано с тем, что магнитное поле, в противоположность электри­ческому, не производит над зарядом работы.

Если напряженность поля во всех точках пространства оди­накова, то поле называют однородным. Скалярный потенциал однородного электрического поля может быть выражен через напряженность поля согласно равенству

Ф = -Ег. (19,3)

Действительно, при E = const имеем grad(Er) = (EV)r = Е.

Векторный же потенциал однородного магнитного поля выра­жается через напряженность этого поля Н в виде

А = у[Нг]. (19,4)

Действительно, при Н = const находим с помощью известных формул векторного анализа:

rot [Hr] = Н div г - (Н?) г = 2Н

(напомним, что divr = 3).

Векторный потенциал однородного магнитного поля можно выбрать я иначе, например, в виде

Л, = - Ну, А_у = А_г = 0 (19,5)

(ось г выбрана вдоль направления Н). Легко убедиться, что и при таком выборе А имеет место равенство Н = rot А. В соот­ветствии с формулами преобразования (18,3) потенциалы (19,4) и (19,5) отличаются друг от друга градиентом некоторой функ­ции: (19,5) получается из (19,4) прибавлением \f, где / = = —хуН/2.

Задача

Написать вариационный принцип для траектории частицы (принцип Мопертюи) в постоянном электромагнитном поле в релятивистской механике.

Решение. Принцип Мопертюи заключается в том, что если полная энергия частицы сохраняется (движение в постоянном поле), то ее траек­тория может быть определена из вариационного уравнения

6^ Prfr = 0,

'{т. I § 44). Подставляя Р = р + — А и замечая, что направления р и dr

где Р — обобщенный импульс частицы, выраженный через энергию и диф­ференциалы координат, а интеграл берется вдоль траектории частицы

6^ (prf/ + yArfr)=0,

[(ем. I § 44). Поде

совпадают, имеем!

где dt = ifdr¹ есть элемент дуги. Определяя р из р² т^гс^% = {Ш т- etp)²/c², находим окончательно:

^{& ^/\J-^-(S~e<ff-m1cidl + ~Adrj = 0.}

§ Ш Движение в постоянном однородном электрическом поле

Рассмотрим движение заряда е в однородном постоянном электрическом поле Е. Направление поля примем за ось х. Дви­жение будет, очевидно, происходить в одной плоскости, которую выберем за плоскость ху. Тогда уравнения движения (17,5) при­мут вид

р_х = еЕ, р_у = 0 (точка над буквой обозначает дифференцирование по t), откуда

p_x = eEi, р„ = р₀. (20,1)

Начало отсчета времени мы выбрали в тот момент, когда р_х = 0; Ро есть импульс частицы в этот момент.

Кинетическая энергия частицы (энергия без потенциальной энергии в поле) равна S_min = с *Jm²c² -f- р². Подставляя сюда (20,1), находим в нашем случае:

#_кин = «Jm²c*+ cy_Q + {ceEt? = ^8\ + (сеЕ1?, (20,2)

где <§Г₀ — энергия при г = 0.

Согласно (9,8) скорость частицы v = рс²/ё?_кан. Для скорости Vx «= х имеем, следовательно:

dx р_хс^г c²eEt

~ЗГ~~ ~~ _{+ {ceEt}f '

Интегрируя, находим:

x = -±-*J$²₀ + {ceEt? (20,3)

(постоянную интегрирования полагаем равной нулю)¹).

') Этот результат (при р₀ = 0) совпадает с решением задачи о реляти­вистском движении с постоянным «собственным ускорением» Wo «= еЕ/т (см. задачу к § 7). Постоянство этого ускорения связано в данном Случае с тем, что электрическое поле не меняется при преобразованиях Лоренца со скоростями V, направленными вдоль поля (см, § 24),

§21}

ДВИЖЕНИЕ В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

79

Для определения у имеем:

^{йу р}«^с* Ро^с'

~2* #кин ~^t* _{+ (ceEt}f '

откуда

^IFArshif-. (20,4)

Уравнение траектории находим, выражая из (20,4) t через у и подставляя в (20,3). Это дает:

Таким образом, заряд движется в однородном электрическом поле по цепной линии.

Если скорость частицы и<с, то можно положить p_Q = moo, &a — mc^s\ разлагая (20,5) по степеням 1/с, получим, с точ­ностью до членов высшего порядка:

X — -^5- у² -f COTlst,

т. е. заряд движется по параболе, — результат, хорошо извест­ный из классической механики.