§ 14. Момент импульса

Как известно из классической механики, у замкнутой систе­мы, кроме энергии и импульса, сохраняется еще и момент им­пульса, т. е. вектор

м=£[гр]

(г и.р'—радиус-вектор и импульс частицы; суммирование про­изводится по всем частицам, входящим в состав системы). Со­хранение момента является следствием того, что функция Ла­гранжа для замкнутой системы в силу изотропии пространства не меняется при повороте системы как целого.

Проделав теперь аналогичный вывод в четырехмерном виде, мы получим релятивистское выражение для момента. Пусть х' — координаты одной из частиц системы. Произведем беско­нечно малый поворот в четырехмерном пространстве. Это есть преобразование, при котором координаты х' принимают новые значения х^п, так что разности х^п — х' являются линейными функциями:

х'¹ — х¹ = x_k 6РД (14,1)

с оесконечно малыми коэффициентами 8Qj*. Компоненты 4-тен­зора 6Qik связаны при этом соотношениями, возникающими в результате требования, чтобы при повороте оставалась неиз­менной длина 4-радиус-вектора, т. е. чтобы было х\х'¹ — x_tx^l. Подставляя сюда х^п из (14,1) и отбрасывая члены, квадратич­ные по 6Qtk, как бесконечно малые высшего порядка, находим:

х'х^к 6Q_lk = 0.

Это равенство должно выполняться при произвольных х¹. По- скольку х'х^к — симметричный тензор, должны составлять антисимметричный тензор (произведение симметричного тен- зора на антисимметричный, очевидно, тождественно равно нулю):

6Q_w = -6Q_(fe. (14,2)

Изменение действия при бесконечно малом изменении коор­динат начальной а и конечной Ъ точек траектории имеет вид (см. (9,10))

(суммирование производится по всем частицам системы). В слу­чае рассматриваемого нами сейчас поворота 8х,< = ШигХ^к, а по­тому

bS = -6Q_ik?_lpⁱx^k\^b_a.

Если разбить тензор £ р'** ^на симметричную и антисим­метричную части, то первая из них при умножении на антисим­метричный тензор тождественно дает нуль. Поэтому, выделяя из X Р¹*^к антисимметричную часть, мы можем написать преды­дущее равенство в виде

6S = -oQ,_fcl £(/>'**-pV)|⁶_e. ₍₁₄₎₃₎

Для замкнутой системы действие, будучи инвариантом, не меняется при повороте в 4-пространстве. Это означает, что должны быть равны нулю коэффициенты при бй« в (14,3):

£ (р'х^к - р^кх% = £ (р'х^к - р^кх%.

Мы видим, что у замкнутой системы остается постоянным при движении, т. е. сохраняется, тензор

М'* = £ (*У — ■**/»')• (14,4)

Этот антисимметричный тензор носит название 4-тензора мо­мента.

Пространственные компоненты тензора момента совпадают с компонентами трехмерного вектора момента М = Е [гр]: М²³ = М_х, - М¹³ = М_у, М¹² = М_г.

Компоненты же М⁰¹, М⁰², М⁰³ составляют вектор Е (Ф ^— 8г/с²). Таким образом, можно записать компоненты тензора М^ш в виде

^Mik_Ч^с_ЕО~^М₎ ⁽¹⁴_'⁵⁾

(ср. (6.10)).

В силу сохранения M^tk для замкнутой системы имеем, в част­ности:

^{Yj {(р - JSL)=const-}

Поскольку, с другой стороны, полная энергия Е <8 тоже сохра­няется, то это равенство можно написать в виде

У 8г с² У р ^ — / ±? =const.

Е^ Е

Отсюда мы видим, что точка с радиус-вектором

V 8г

_*~t* ^(14>6)

равномерно движется со скоростью

с* У Р

') В то время как классическая формула для центра инерции относится к системам как невзаимодействующих, так и взаимодействующих частиц, формула (14,6) справедлива лишь при пренебрежении взаимодействием. В релятивистской механике определение центра инерции системы взаимодей­ствующих частиц требует учета в явном виде также импульса и энергии создаваемого ими поля.

которая есть не что иное, как скорость движения системы как целого (отвечающая по формуле (9,8) ее полным энергии и им­пульсу). Формула (14,6) дает релятивистское определение ко­ординат центра инерции системы. Если скорости всех частиц малы по сравнению с с,, то можно приближенно положить 8 тс² и (14,6) переходит в обычное классическое выраже­ние')

Обратим внимание на то, что компоненты вектора (14,6) не составляют пространственных компонент какого-либо 4-вектора и потому при преобразовании системы отсчета не преобразуются как координаты какой-либо точки. Поэтому центр инерции од­ной и той же системы частиц по отношению к различным си­стемам отсчета — это различные точки.

Задача

Найти связь между моментом импульса М тела (системы частиц) в си­стеме отсчета К, в которой тело движется со скоростью V, и его момен­том М^<0> в системе отсчета Ко, в которой тело как целое покоится; в обоих случаях момент определяется по отношению к одной и той же точке—> центру инерции тела в системе Ко¹).

Решение. Система Ко движется относительно К со скоростью V; вы­берем ее направление в качестве оси х. Интересующие нас компоненты тен­зора М'^к преобразуются по формулам (см. задачу 2 § §)

^(0) 12 ₊ V_ _M(0) 02 _м(0) 13 ₊ У_ ^(0) оз

А1¹² = ^е , JM^I3= ° , уИ²³ = М^(е)29.

Так как начало координат выбрано в центре инерции тела (в системе К₀), то. в этой системе ^^г = 0, а поскольку в ней н £р = 0, то М^^й2 = _ j^)(0)03 _ q_ Учитывая связь между компонентами М'* и вектором JVt, на­ходим для последнего:

М_х-К№, Af„-—, ^у .... , м, =

') Напомним, что хотя в системе Ко (в которой £ р = о) момент им­пульса не зависит от выбора точки, по отношению к которой он определяется, но в системе К (в которой £ Р момент зависит от этого выбора (ем. I § 9).