4. Найти угловое распределение в л-системе для распадных частиц с массой, равной нулю.

Решение. Связь между углами вылета в ц- и л-системах для ча- стицы с т = 0 дается согласно (5,6) формулой

„ cos 9 - V

COS вп

1 — V cos 9

dN-

Подставляя это выражение в формулу (1) задачи 2, получим:

(1 - К²) do

4Я(1 — Ксозв)2 '

5. Найти, распределение по углам разлета в л-системе при распаде на две частицы с массами, равными нулю.

Решение. Связь между углами вылет? 9i, 9_а в л-системе и углами Ою = 9а, 9и = я — в» в ц-системе определяется по формулам (5,6), после чего для угла разлета в = 6i + в₂ находим:

_ 2V^S- 1 - K²cos²9₀ cos 6 =

1 - V² cos² во и обратно:

cos в_в = /у t ргз— ctg² —.

Подставив это выражение в формулу (1) задачи 2, получим:

dN: ¹-^>а "о

ШУ . , в „ /,., . в ' ~2~ Д/ ^с ~2~

Угол в пробегает значения от я до вщщ = 2 агссоа И.

6. Определить наибольшую энергию, которую может унести одна из распадных частиц при распаде неподвижной частицы с массой м на три частицы mi, тг, т3.

Решение. Частица т, имеет наибольшую энергию, если система двух остальных частиц т₃ и т» имеет наименьшую возможную массу; последняя равна сумме тг + т₃ (чему отвечает совместное движение этих частиц с одинаковой скоростью). Сведя, таким образом, вопрос к распаду тела на две части, получим согласно (11,3):

М² + т²-(т₂ + т₃)²

^тах ш •

§ 12. Инвариантное сечение

Как известно, различные процессы рассеяния характеризу­ются их эффективными сечениями (или просто сечениями), опре­деляющими числа столкновений, происходящих в пучках стал­кивающихся частиц.

Пусть мы имеем два сталкивающихся пучка; обозначим че­рез п\ и П2 плотности частиц в них (т. е. числа частиц в единице объема), а через vi и \₂— скорости частиц. В системе отсчета, в которой частицы 2 покоятся (или, как говорят короче, в си­стеме покоя частиц 2), мы имеем дело со столкновением пучка частиц / с неподвижной мишенью. При этом, согласно обычному определению сечения о, число столкновений, происходящих в объеме dV в течение времени dt, равно

dy = av_mnn_xn₂ dV dt,

где Уотн-—величина скорости частиц / в системе покоя частиц 2 (именно так определяется в релятивистской механике относи­тельная скорость двух частиц).

Число dv по самому своему существу есть величина инва­риантная. Поставим себе целью выразить ее в виде, пригодном в любой системе отсчета:

dv = An_xn₂dV dt, (12,1)

где А — подлежащая определению величина, о которой известно, что в системе покоя одной из частиц она равна и₀т_Но. При этом мы будем всегда понимать а именно как сечение в системе по­коя одной из частиц, т. е., по определению, как величину инва­риантную. По определению, инвариантной является и относи­тельная СКОРОСТЬ Уотн.

В выражении (12,1) произведение dV dt есть величина инва­риантная. Поэтому должно быть инвариантным и произведение Ап\П₂.

оакон преобразования плотности частиц п легко найти, за­метив, что инвариантно число частиц ndV в заданном элементе объема dV. Написав ndV — n₀dV₀ (индекс 0 указывает систему покоя частиц) и воспользовавшись формулой (4,6) для преоб­разования объема, найдем:

л = -7=*=. (12,2)

Vl — V²

или п^по&'/т, где & — энергия, а т — масса частиц.

Поэтому утверждение об инвариантности произведения Ап_хп₂ эквивалентно инвариантности выражения А<8\<§₂. Более удобно представить это условие в виде

_А*£*_=А—^2 _{=inv> (12>3)}

р_ир₂ &_х&₂ — р[р₂

где в знаменателе стоит тоже инвариантная величина — произ­ведение 4-импульсов обеих частиц.

В системе покоя частиц 2 имеем 8₂ = т₂, р₂ = О, так что инвариантная величина (12,3) сводится к Л. С другой стороны, в этой системе Л = от₀тн. Таким образом, в произвольной си­стеме отсчета

р р'

А = ov_OTn-^r. (12,4)

Для придания этому выражению окончательного вида, вы­разим Уотн через импульсы или скорости частиц в произвольной системе отсчета. Для этого замечаем, что в системе покоя ча­стиц 2 инвариант

PuPi = , ~^т2-

Отсюда

т',т%

(РиР2)

PuP'a ^{= m}i^m2

Выразив величину p_up^l₂ — <S _х<$ ₂ — р,р₂ через скорости v, и v₂ с помощью (9,1) и (9,4):

1 — V,V₂

V(i--?)(i--i)

и подставив в (12,5), после простых преобразований получим следующее выражение для относительной скорости:

V(v, - v₂)² - [v, v₂f_ ^ ₂

-отн ! _ _ViVj

(обратим внимание на то, что это выражение симметрично по Vi и v₂, т. е. величина относительной скорости не зависит от того, по отношению к которой из частиц она определяется).

Подставив (12,5) или (12,6) в (12,4), а затем в (12,1), по­лучим окончательные формулы, решающие поставленный во­прос:

dv=о V(php£-^1 _{щщ dy dt (вд}

ИЛИ

d\ — ст V(V! — v₂)² — Ку₂]² п_хп₂ dV dt (12,8)

.{W. Pauli, 1933).

Если скорости vi и V2 лежат вдоль одной прямой, то [viv₂] = = 0, так что формула (12,8) принимает вид

dv = a{\_l — v₂\n_ln₂dVdt. (12,9)

Задача

Найти «элемент длины> в релятивистском «пространстве скоростей».

Решение. Искомый «элемент длины» dl„ представляет собой относи­тельную скорость двух точек со скоростями v и v + d\. Поэтому из (12,6) находим:

л,2 (d\f - [v dvf dv* , о² , ._q2 , . ₂. . _2Ч ^v (l-t>²)² (l-t>²)² (l-o²)^{v Y/}

где 8, q> — полярный угол и азимут направления v.' Если ввести вместо v новую переменную % согласно равенству v = th %, то элемент длины пред­ставится в виде

dl\ = d_X² + sh² % (d&² + sin² в iq>²).

С геометрической точки зрения, это есть элемент длины в трехмерном пространстве Лобачевского — пространстве постоянной отрицательной кри­визны (ср. (111,12)).