1. Частица, движущаяся со скоростью V, распадается «на лету» на две частицы. Определить связь между углами вылета последних и их энергиями.

Решение. Пусть S₀ — энергия одной из распадных частиц в ^-системе (т.е. Ш'ю или Жгъ из (11.3)), <8 — энергия этой же частицы в л-системе, а 9 — угол ее вылета в л-системе (по отношению к направлению V). С по­мощью формул преобразования (9,15) имеем:

_{„ <S — Vp cos 9}

откуда

соз9^-^У1_71.

V У<§?² - т²

Для обратного определения 8 по cos 9 отсюда получается квадратное '(относительно 8) уравнение

8² (1 - V² cos² 9) - 288_Q + 8² (1 - V²) + VW cos² 9 = 0, (2)

имеюшее один (если скорость распадной частицы в ^-системе v₀ > V) или два (если v₀ < V) положительных корня.

Происхождение последней двузначности ясно из следующего графиче» ского построения. Согласно формулам (9,15) компонента импульса в л-си­стеме выражается через величины, относящиеся к ц-системе, следующим образом:

р₀ cos 9₀ + 8₀V . _а

^{Рх =} yr=T2—' ^{Ру Ро sm}

Исключая отсюда 9₀, получим:

р1 + (р_х - 8₀vJ - pi

') В классическом пределе эллипс превращается в окружность (см, I § 16).

По отношению к переменным р_х, р_у это есть уравнение эллипса с полуосями Po/V 1 — V, ро и центром (точка О на рис. 3), смещенным на расстояние 8₀V/-\/l —V² от точки р = 0 (точка А на рис. 3)').

Если V > ро/^о = «о, то точка А лежит вне эллипса (рис. 3, б) и при заданном угле 6 вектор р (а с ним и энергия &) может иметь два раз­личных значения. Из построения видно также, что в этом случае угол в может принимать лишь значения, не превышающие определенного 0_max (от­вечающего такому положению вектора р, при котором он касателен к эл­липсу) . Значение в max проще всего определяется знзлитнческн из условия

обращения в нуль дискриминанта квадратного уравнения (2) и оказывается равным:

тУ

р„УГ=У*

Sin вп:

2. Найти распределение раеладных частиц по энергиям в л-системе.

Решение. В ц-системе распадные частицы распределены изотропно по направлениям, т. е. доля числа частиц в элементе телесного угла do» = i== 2я sin Go d6₀ есть

dN = 4- doo ■ An

i

d cos 0_OI

(1)

Энергия В л-еистеме связана с величинами, относящимися к q-системе, со­отношением

в> #о + PqV cos в₀

Vl - V²'

и пробегает значения между

ffo — Урв &о + Ура <y/T=V² * УГ^У⁵ '

Выражая |dcos0_o| через й&, получим нормированное на единицу распре­деление по энергиям (для каждого из двух сортов распадных частиц):

dN = Vl - У² ЛШ.

3. Определить интервал значений, которые может принимать в л-си-стеме угол между двумя распадными частицами (угол разлета) при рас­паде на две одинаковые частицы.

Решение. В ^-системе частицы разлетаются во взаимно противопо­ложных направлениях, так что бы = п— 0_го = бо- Связь между углами в ц- и л-системах дается согласно (5,4) формулами

. п vо cos ©о + V , „ — v„ cos On + V

(в данном случае »ю = Оц, = ц₀). Искомый угол разлета 9 = Qi + 9г и для него простое вычисление дает:

. a У²~4+У²4^% ctg8 = .

2Vo₀ Vl - У² sin в₀

Исследование экстремумов этого выражения приводит к следующим интер­валам возможных значений 0:

V<v_a: 2агс%(-^-У1-К²)<в<я; v

VT

если v_a<V<— °У : 0 < в < arcsin _л I- — < —,

VI -4 V 1-4 ²

если V >

^{Д—: 0<e<2}_&^{Ktg(-*L-y/T=r2\<lL. VI -4 \V /2}