§ 117. Плоская анизотропная модель

Адекватность изотропной модели для описания поздних эта­пов эволюции Вселенной сама по себе не дает оснований ожи­дать, что она столь же пригодна и для описания ранних стадий эволюции, — вблизи особой точки по времени. Этот вопрос будет детально обсужден в § 119, а в этом и следующем параграфах будут предварительно рассмотрены решения уравнений Эйн­штейна, тоже обладающие особой точкой по времени, но прин­ципиально отличных (от фридмановской особенности) типов.

Будем искать решение, в котором все компоненты метриче­ского тензора являются, при надлежащем выборе системы от­счета, функциями лишь одной переменной — времени х° = г⁵). Такой вопрос рассматривался уже в § 109, где, однако, был рассмотрен только случай, когда определитель |g_aB| = 0. Теперь уже будем считать этот определитель отличным от нуля. Как было показано в § 109, в таком случае можно, без ограничения общности, положить все g_oa = 0. Преобразованием переменной согласно -Vgoodf-^-d/,можно затем обратить goo в единицу, так что мы получим синхронную систему отсчета, в которой

g00=l> goa = 0, gap = "Yap (О- (П7,1)

Теперь мы можем воспользоваться уравнениями Эйнштейна в виде (97,11—13). Поскольку величины у_а$, а с ними и компо­ненты трехмерного тензора x_ap = Yap не зависят от координат х^а, то Roa s3 0. По той же причине P_ap s=s 0, и в результате урав­нения гравитационного поля в пустоте сводятся к следующей системе:

*a44xaXp = 0, (117,2)

-MVv*S)' = 0. (117,3) Vy

') Ковариантные производные х„_{; v}, входящие в преобразуются с по­мощью формулы, приведенной в примечании на стр. 379.

^!) В § 117—118 для упрощения записи формул полагаем с = 1,

Из (117,3) следует, что

VY«a = 2^, (117,4)

где Ла — постоянные величины. Упрощая по индексам а и В, по­лучим;

„а V ² о, а

«а — — I— ^Ла»

у Vy

откуда видно, что y = const г². Без ограничения общности можно положить const = 1 (это достигается просто изменением мас­штаба координат jc^a); тогда л£= 1. Подстановка (117,4) в урав­нение (117,2) дает теперь соотношение

(117,5)

связывающее между собой постоянные я£.

Далее, опустив в (117,4) индекс р% перепишем эта равенства в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений для у_ар:

Yap==|-^aYvp. (П7.6)

Совокупность коэффициентов %1 можно рассматривать как мат­рицу некоторой линейной подстановки. Путем соответствующего линейного преобразования координат х¹, х², х³ (или, что экви­валентно, величин gi_p, g₂p, £зр) можно, вообще говоря, привести эту матрицу к диагональному виду. Обозначим ее главные зна­чения посредством р_ь р₂, Рз. и будем считать, что все они вещест­венны и различны (о других случаях — см. ниже); единичные векторы в соответствующих главных направлениях пусть будут п^(,), п⁽²>, п^<3). Тогда решение уравнений (117,6) можно предста­вить в виде

Yag —' П_аЩ -jrt ПаЩ -\-t П_а Щ (117,7)

(постоянные коэффициенты при степенях t можно обратить в единицу путем соответствующего выбора масштаба координат).. Наконец, выбрав направления векторов Ф\ а<-³> в качестве окончательного направления осей (назовем их х, у, г), приведем метрику к виду

^{ds2 = dt2 — t^dx2 — РЫу2 — РЫг2. (117,8)}

(E. Kasner, 1922). Здесь р_ь рг, рз — любые три числа, удовле­творяющие двум соотношениям,:

Р! + Р₂ + Рз=1, p\ + pl + pl=l (117,9)

(первое следует из —g — t², а второе получается затем из (117,5)).

Три числа р_и рг, р_г не могут, очевидно, иметь одинаковые значения. Равенство двух из них имеет место в тройках значе­ний (0, 0, 1) и {—1/3, 2/3, 2/3). Во всех других случаях числа Ри Рг, Рз различны, причем одно нз них отрицательно, а два дру­гих положительны. Если расположить их в порядке р\ <С р₂ < рз, то их значения будут лежать в интервалах

-j<Pi<0, 0<р₂<|, |<рз<1. (Н7,10)

Таким образом, метрика (117,8) соответствует плоскому од­нородному, но анизотропному пространству, все объемы в ко­тором растут {с увеличением времени) пропорционально t, при­чем линейные расстояния вдоль двух осей (у, z) увеличиваются, а вдоль одной \х) убывают. Момент г = 0 является особой точкой решения; метрика имеет в ней особенность, не устрани­мую никаким преобразованием системы отсчета, причем инва­рианты тензора четырехмерной кривизны обращаются в беско­нечность. Исключением является лишь случай р_х = р₂ = 0, рз = == 1; при этих значениях мы имеем дело просто с плоским пространством-временем: преобразованием t sh z = \, / ch z= x метрика (J17,8) приводится к галилеевой¹).

') Решение типа (117,8) существует и в том случае, когда переменная в нем является пространствен ной'; яри этом надо только соответствующим

образом изменить знаки, например:

ds² = х²"' dt² - dx² - х²** dy² - **» dz².

В ЭЮМ случае, однако, существуют также и решения другого вида, воз­никающие, когда матрица Яд в уравнениях (117,6) имеет комплексные или совпадающие главные значения (см. задачи 1 и 2). В случае временной переменной I эти решения оказываются невозможными в силу того, что определитель g в них не удовлетворял бы необходимому условию g < 0.

Дадим также ссылку на статью, в которой найден ряд точных решений уравнений Эйнштейна и пустоте родственных типов, зависящих от большего числа переменных: В. К. Harrison, Phys. Rev. 116, 1285 (1969),

Метрика (117,8) является точным решением уравнений Эйн­штейна для пустого пространства. Но вблизи особой точки, яри малых t, она остается приближенным (с точностью до членов главного порядка no l/t) решением уравнеяий й яри наличии равномерно распределенной в пространстве материн. Скорость и ход изменения плотности материи определяются при этом просто уравнениями ее движения в заданном гравитационном поле, а обратное влияние материи на поле оказывается прене-брежимым. Плотность материи стремится к бесконечности при i->0 — в соответствии с физическим характером особенности (см. задачу 3).

Задачи

1. Найти решение уравнений (117,6), соответствующее случаю, когда матрица имеет одно вещественное (p_s) и два комплексных (pi,a=;

= р' ± ip") главных значения.

Решение. В этом случае переменная ж⁰, от которой зависят все ве­личины, должна иметь пространственный характер; обозначим ее как х° ==х. Соответственно в (117,1) должно быть теперь «оо = — 1. Уравнения же (117,2—3) не меняются.

Векторы п⁽¹\ п⁽²* в (117,7) становятся комплексными: п^а,2^ = (п'± rfc/'n")/V2, где п', а" — единичные векторы. Выбирая оси х^х, х², х³ в на­правлениях п', п", п^<3), получим решение в виде

--«.. = «22 = *^2р' cos (у In у), g₁₂ = - х²"' sin (2р" In ,

«зз = - х²"\ - « = -goo i «ар i = x²,

где а — постоянная (которую уже нельзя устранить, выбором масштаба вдоль оси х, не изменив других коэффициентов в написанных выражениях). Числа ри р2, рз по-прежнему удовлетворяют соотношениям (117,9), причем вещественное число рз либо меньше —1/3, либо больше единицы.

2. То же в случае совпадающих двух главных значений (р₂ = р₃).

Решение. Как известно, из общей теории линейных дифференциаль­ных уравнений, в этом случае система (117,6) может быть приведена к следующему каноническому виду:

2р₍ 2р₂ 2р₂ X

gu =-£-«ii, «за =-7-«га, «3a = -£-g3a==ao+—«га. а = 2,3,

где X— постоянная. При X = 0 мы возвращаемся к (117,8). При ХфО можно положить X = 1; тогда

«.. - - *^2р", «га - а_ах²Р\ «за = a_a*^2pj In х + Ь_ах²Р>.

Из условия g32 = «23 находим, что а₂ = О, а% = Надлежащим выбором масштаба вдоль осей х², х³ окончательно приводим метрику к следующему виду:

ds² = - dx² - х²* (dx¹)² ± 2*²"' dx² dx³ ± x²P' In - (dx³)².

Числа pi, рг могут иметь значения 1, 0 или —1/3, 2/3.

3. Вблизи особой точки t = 0 найти закон изменения со временем плот- ности материи, равномерно распределенной в пространстве с метрикой (117,8).

Решение. Пренебрегая обратным влиянием материи на поле, исходим из гидродинамических уравнений движения

-^J-rW^gOu')^,

V-« дх¹

. (du_t 1 , dg_k, \ dp . dp

(р + е)н*(-4 »'-^тН -г-ил^—х, (1)

^v^ V дх^к 2 dx¹ ) dx^{1 1} dx^{k 1} '

содержащихся в уравнениях 7* _ft = 0 (см. «Гидродинамика», § 134). Здесь a — плотность энтропии; вблизи особенности ' надо пользоваться ультра­релятивистским уравнением состояния р = е/3, и тогда a со е^3/4.

Обозначим временные множители в (117,8) посредством a = t^Pl, b = t^p-, f=»f^p3. Поскольку все величины зависят только от времени, а У— g =^abc, уравнения (1) дают

^-(а6_С«ое^3/4)==0, 4e-^ + %|f-=0.

Отсюда

aftc«₀e^3/4 = const, (2)

и_ав^щ = const. (3)

Согласно (3) все ковариантные составляющие и₀ — одинакового порядка величины. Из контравариантных же компонент наиболее велика (при /->-0) н⁸ « Из/с²- Сохранив в тождестве щи' — 1 лишь наибольшие члены, получим поэтому и\ « и₃и³ = («з)²/с² и затем из (2) и (3):

еоо-^р, и_асоУа6,

или

_800<-2<р,+р_г) ₌ ,-2<1-_РЛ „„оог^-р*². (4)

Как и следовало, е стремится при t-*-0 к бесконечности для всех значений р₃, за исключением лишь рз = 1, — в соответствии с тем, что особенность в мет­рике с показателями (0, 0,1) фиктивна.

Справедливость использованного приближения проверяется оценкой ком­понент Т^к, опущенных в правых частях уравнений (117,2—3), Главные члены в них:

^{Г* ~ ей2 со} _r^-d+P3)_t ^{Г} - е оо Г2 (1-р»>,}

Г² ~ еи₂«² со г-0+²р>-р=>₍ т³ ~ е«₃«³ <*> г

Все они действительно растут при <-*-0 медленнее, чем левые стороны уравнений, возрастающие как t~².