§ 115. Гравитационная устойчивость изотропного мира

Рассмотрим вопрос о поведении малых возмущений в изо­тропной модели, т. е. о ее гравитационной устойчивости (Е. М. Лифшиц, 1946). При этом мы ограничимся рассмотре­нием возмущений в сравнительно небольших областях простран­ства — областях, линейные размеры которых малы по сравне­нию с радиусом а¹).

В каждой такой области пространственная метрика может быть принята в первом приближении евклидовой, т. е. метрика (111,8) или (111,12) заменится метрикой

dp = d²(r\)(dx² + dy² + dz% (116,1)

где х, у, г — декартовы координаты, измеренные в единицах ра­диуса а. В качестве временной координаты будем по-прежнему пользоваться переменной ц.

Без ограничения общности, будем описывать возмущенное поле по-прежнему в синхронной системе отсчета, т. е. наложим на изменения 6gj* метрического тензора условия egm = &g&a — 0. Варьируя при этих условиях тождество g»*a'u* = 1 (и имея в виду, что невозмущенные значения компонент 4-скорости мате­рии u°=l/a, u^a ~Q²)), получим goe«°6«⁰ = Q, откуда 5u° — 0. Возмущения же бы^а, вообще говоря, отличны от нуля, так что система отсчета — уже не сопутствующая.

Возмущения пространственного метрического тензора обо­значим посредством й_ав = 6y_ae = — figae. Тогда 6у^в(5 = — &^аЭ> причем поднимание индексов у ft_aft осуществляется с помощью невозмущенной метрики y_ae.

') Более подробное изложение вопроса, в том числе исследование воз­мущений в областях сравнимых с о размеров —ем. Е. М. Лифшиц, УФН 80, 411 (1963); Adv. of Phys. 12, 208 (1963).

^г) Невозмущенные значения величин мы будем обозначать в этом па­раграфе буквами без дополнительного индекса (0),

В линейном приближении малые возмущения гравитацион­ного поля удовлетворяют уравнениям

6/??-i-6?6# = -^-67i (145,2)

В сихронной системе отсчета вариации компонент тензора энергии-импульса (94,9) равны:

вг£ = —б2ор, о7о=а(р + е)ои^в, 6Т1 = 6г. (115,3)

Ввиду малости бе и бр можно написать бр = -^-бе, и мы полу­чаем соотношения

6Т1 = -61^6Т1 (115,4)

Формулы для 6Ri можно получить варьированием выраже­ний (97,10). Поскольку невозмущенный метрический тензор Тар = я²6ар, то невозмущенные значения

_ 2d _ 2а' Р_2а' в

^КаР а ^^аР — а² ^^аР' ^Ха — ~а*~ ^а'

где точка означает дифференцирование по ct, а штрих — по п. Возмущения же величин х_ар и к£ = x_ayY^ve:

бх_ар = h₄⁼=~ Лар, 6х£ = — Н?\_ач + Y^PVfta_Y = =

где Ла = y»^yh_ay. Невозмущецные значения трехмерного тензора Pa для евклидовой метрики (115,1) равны нулю. Вариации же 6Р_а вычисляются по формулам (108,3-^4); очевидно, что 6р£ выражается через бу_ар так же, как 4-тензор 6Ri_k выражается через 6gik, причем все тензорные операции производятся в трех­мерном пространстве с метрикой (115,1); ввиду евклидовости этой метрики все ковариантные дифференцирования сводятся к простым дифференцированиям по координатам х^а (контрава­риантные же дифференцирования — еще и к делению на а²). Имея все это в виду (и переходя везде от производных по t к производным по г\), получим после простого вычисления:

_{АрР L (/.v. в, Ae. y_ap. y_h. e\ L tfi" - — h*' — — h'tf}

°a« — — \ⁿa, y^ⁿy, a "yo ⁿ,a) ^a^{2 a} a³ 2a^{3 a}'

(115,5)

(h = ha)- Здесь как нижние, так и верхние индексы после за­пятой означают простые дифференцирования по координатам х^я (мы продолжаем писать индексы вверху и внизу лишь для со­хранения единообразия обозначений).

Окончательные уравнения для возмущения Л£ мы получим, подставив в (115,4) компоненты 6Ti, выраженные через 6R^k со­гласно (115,2). В качестве этих уравнений удобно выбрать урав­нения, получающиеся из (115,4) при а ф В и при упрощении по индексам а, В. Они гласят:

(hi _у + hy-Л - КI - hU) + Л£" + 2 4 *й' = 0, а Ф В, \ {h% I - К X) (1 + 3&) + Л' + А' 4 (2 + 31) « 0. ^(115>6)

Возмущения плотности и скорости материи могут быть опре­делены по известным hi с помощью формул (115,2—3). Так, для относительного изменения плотности имеем:

Среди решений уравнений (115,6) есть такие, которые могут быть исключены простым преобразованием системы отсчета (не нарушающим ее синхронности) и поэтому не представляют со­бой реального физического изменения метрики. Вид таких ре­шений может быть заранее установлен с помощью полученных в задаче 3 § 97 формул (1) и (2). Подставив в них невозмущен­ные значения у_ар =» а²6_ав, получим следующие выражения для фиктивных возмущений метрики:

/Й - U й J ^ + i fA + {fa* + f. а), (115,8)

где f₀, fa — произвольные (малые) функции координат х, у, г.

Поскольку метрика в рассматриваемых нами небольших об­ластях пространства предполагается евклидовой, то произволь­ное возмущение в каждой такой области может быть разложено по плоским волнам. Понимая под х, у, z декартовы координаты, измеренные в единицах а, мы можем написать пространственный периодический множитель плоских волн в виде e^im, где п — безразмерный вектор, представляющий собой волновой вектор, измеренный в единицах 1/а (волновой вектор к~п/а). Если мы имеем возмущение в участке пространства с размерами ~/, то в его разложение войдут в основном волны с длинами X = = 2па/п ~ /. Ограничиваясь возмущениями в областях с раз­мерами / <С а, мы тем самым предполагаем число п достаточно большим (я > 2п).

Гравитационные возмущения можно разделить на три типа. Эта классификация сводится к определению возможных типов плоских волн, в виде которых может быть представлен сим­метричный тензор Л_ар. Таким образом получим следующую классификацию:

482

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ космология

[ГЛ. XI»

1. С помощью скалярной функции

Q = e^im (115,9)

можно составить вектор P = nQ и тензоры 'J

Qa = y6gQ, pP=(l6_a-^-)Q. (115,10)

Таким плоским волнам отвечают возмущения, в которых наряду с гравитационным полем испытывают изменении также скорость и плотность материи, т. е. мы имеем дело с возмущениями, со­провождающимися возникновением сгущений или разрежений материи. Возмущение h\ выражается при этом через тензоры Qa и Pa, возмущение скорости — через вектор Р, а возмущение плотности — через скаляр Q.

2. С помощью поперечной векторной водны

S = se^,nr, sn = 0, (115,11)

можно составить тензор (n¹²S_a-}-RaS¹³); соответствующего же скаляра не существует, поскольку tiS=fJ. Этим волнам отве­чают возмущения, в которых наряду с гравитационным полем испытывает изменение скорость, но не плотность материи; их можно назвать вращательными возмущениями.

3. Поперечная тензорная волна

Ql = gUⁿ\ gine=0. (115,12)

С ее помощью нельзя составить ни вектора, ни скаляра. Этим волнам отвечают возмущения гравитационного поля, при кото­рых материя остается неподвижной и однородно распределенной в пространстве. Другими словами, это — гравитационные волны в изотропном мире.

Наиболее интересны возмущения первого типа. Полагаем

^{Л5-МЧ)Р5 + ИчХЙ. А=рХЭ- (115,13)}

Из (115,7J получим для относительного изменения плотности

т-яет-И + '^ + ^Ф- <¹¹⁵'¹⁴>

Уравнения, определяющие функции \ и р., получаются под­становкой (115,13) в (115,6):

Я¹⁴ ₊ 2.21 V+И)

„ (1.5,15)

»i'+^-f(2 + 3-£) + ^№+^)(l + 3^)-0.

Эти уравнения имеют прежде всего следующие два частных ин­теграла, соответствующие тем фиктивным изменениям метрики, которые могут быть исключены преобразованием системы от­счета :

X = — ji = const, (H5,16)

^Я = -"²$1Г- ^"²$-Т— (ИМ?)

(первый из них получается из (115,8) выбором fo = 0,' f_a = Р_а,

ВТОРОЙ — ВЫборОМ /о = Q, fa = 0) .

На ранних стадиях расширения мира, когда материя описы­вается уравнением состояния р = е/3, имеем а « ащ, т) -С 1 (как в открытой, так и в закрытой моделях). Уравнения

(115.15) принимают вид

Л" + |л/-^(а. + ц) = 0, ц/' + Ац/ ₊ -|1(л. ₊ р,) = 0.

(115,18)

Исследование этих уравнений удобно производить раздельно для двух предельных случаев в зависимости от взаимного соот­ношения между двумя большими величинами «и 1/х\.

Предположим сначала, что число п не слишком велико (или и достаточно мало), так что пц «С 1. С той точностью, с которой справедливы уравнений (115,18), находим из них в данном случае:

а^+С₂(1+£п^г). * = ~*£с_Л + С,(1-*гГ).

где С_и С₂ — постоянные; отсюда исключены решения вида

(115.16) и (115,17) (в данном случае это — решение, в котором Х =—ц = const и в котором Я -f- М- ~ 1/rj²). Вычислив также &е/е согласно (115,14) и (112,15), получим следующие выраже- ния для возмущений метрики и плотности:

— -^(C^ + C^Q при p=i, (115,19>

Постоянные С_и С₂ должны удовлетворять определенным условиям, выражающим малость возмущения в момент щ его возникновения: должно быть hi < 1 (откуда X ■< 1, ц<С 1) в бе/е «СКВ применении к (115,19) эти условия приводят к не­равенствам С\ <С П{к С₂ <С 1.

В выражениях (115,19) имеются члены, возрастающие в рас­ширяющемся мире как различные степени радиуса а = ащ. Од­нако это возрастание не приводит к тому, чтобы возмущениемогло стать большим: если применить формулы (XI5,19) по порядку величины при ц ~ 1/я, то мы увидим, что (в силу полу­ченных выше неравенств для С₁₍ С₂) возмущения остаются ма­лыми даже на верхнем пределе действия этих формул.

Пусть теперь число п настолько велико, что пц 1. Решая уравнения (115,18) при этом условии, найдем, что главные чле­ны в % и ц. равны'):

К = — £ = const Л e'WVs", Отсюда находим для возмущений метрики и плотности:

при р = -|, 4-<^т1<1, (115,20)

где С — комплексная постоянная, удовлетворяющая условию |С|<С 1. Наличие периодического множителя в этих выражениях вполне естественно. При больших п мы имеем дело с возму­щением, пространственная периодичность которого определяется большим волновым вектором k = п/а. Такие возмущения долж­ны распространяться как звуковые волны со скоростью

V d(s/c¹⁵) V3

Соответственно временная часть фазы определяется как по­лагается в геометрической акустике, большим интегралом

kudt = лт)/д/3. Амплитуда относительного изменения плот­ности остается, как мы видим, постоянной, амплитуды же воз­мущений метрики при расширении мира убывают как а^-22).

') Предэкспоненциальный множитель 1/т|² — первый член разложения по степеням 1/пг). Для его определения в данном случае надо рассматривать одновременно два первых члена разложения (что допускается точностью

уравнений (115,18)).

Далее, рассмотрим более поздние стадии расширения, когда материя разрежена уже настолько, что можно пренебречь ее давлением (р = 0). При этом мы ограничимся здесь лишь слу­чаем малых г), соответствующих тем стадиям расширения, когда радиус а еще очень мал по сравнению с его современным зна­чением, но все же материя уже достаточно разрежена.

При р = 0 и r\ <С 1 имеем а да а₀г\²/2 и уравнения (115,15) принимают вид

^{+ 1Г(Л + ц) = 0, и" + -}_г^{;Ц'+4^ + 'г) = 0-}

Решение этих уравнений:

k + _li = 2C_u %-ц = 2п²(^+^-).

Вычислив также бе/е (с помощью (115,14) и (112,12)), находим:

h_a = cM + Qi) + ^№-Q«) притк-i,

hi = %rn\²(P_a-Q*) + ^(P_a-Qi) при 1«п«1,

(115,21)

бе _ ( С,я²г|² , С₂п² Л „ е ~1 30 ту³ )^Ч-

Мы видим, что бе/е содержит член, возрастающий пропор­ционально а¹). Однако если nrj «С 1, то бе/е не становится все же большим даже при ц ~ 1/п в силу условия Cj «С 1. Если же цп 1, то при л. -~ 1 относительное изменение плотности стано­вится порядка С\п², между тем как малость начального возму­щения требует лишь, чтобы было С_хпц\ <Cl. Таким образом, хотя возрастание возмущений происходит и медленно, но общее увеличение может быть значительным и в результате возмуще­ние может стать сравнительно большим.

Аналогичным образом могут быть рассмотрены возмущения второго и третьего из перечисленных выше типов. Однако законы затухания этих возмущений могут быть найдены и без деталь­ных вычислений, исходя из следующих простых соображений.

Если в небольшом участке вещества (с линейными разме­рами I) имеется вращательное возмущение со скоростью 8v, то момент импульса этого участка ~ (e/c²)l³-l-v. При расширении мира / растет пропорционально а, а е убывает как а-³ (в слу­чае р — 0) или как а^-4 (при р = е/3). В силу сохранения мо­мента имеем поэтому

в 1

бй = const при р = у, 6voo— при р = 0. (115,22)

Наконец, плотность энергии гравитационных волн должна убывать при расширении мира как а^-4. С другой стороны, эта плотность, выражается через возмущение метрики как ~k²{hl)², где k = n/a — волновой вектор возмущения. Отсюда следует, что амплитуда возмущения типа гравитационной волны убывает со временем как 1/а.