§ 113. Открытая изотропная модель

Решение, соответствующее изотропному пространству отри­цательной кривизны (открытая модель), получается вполне ана­логично предыдущему. Вместо {П2,2) имеем теперь

ds² = c²dt² - a²(t) {d%² + sh²x(d№ + sin²8dqp²)}. (113,1)

Вводим снова вместо t переменную т) согласно cdt=adr\; тогда получаем:

ds² = a²(4){dr\²-d%²-sh²x,(dQ²+ sin²8)d<j>²)}. (113,2)

Это выражение может быть формально получено из (112,4) за­меной tj, х, а соответственно на ir\, i%, ia. Поэтому и уравнения поля можно получить просто путем этой же замены из [(112,5—6). Уравнение (112,6) сохраняет при этом свой прежний вид:

31na = -$-^_ +const, (113,3)

а вместо (112,5) имеем:

8*fe ₌ з_(а,₂__{а2) (ИЗ>4)}

с* а

Соответственно этому находим вместо (112,7)

Для пылевидной материи получаем отсюда⁸):

a=a₀(chti-l), t = ^-(shx\-x\), (113,6)

^⁹ = ^F^ao. (113,7)

Формулы (113,6) определяют в параметрическом виде зависи­мость а (г). В отличие от замкнутой модели, здесь радиус кри­визны меняется монотонно, возрастая от нуля при / = 0 (п = 0) до бесконечности при t—»со (г]->со). Плотность же материи, со­ответственно, монотонно убывает от бесконечного значения при t = 0 (при ц <С 1 закон этого убывания дается той же прибли­женной формулой (112,12), что и в закрытой модели).

Для больших плотностей решение (113,6—7) неприменимо, и надо снова обратиться к случаю р = е/3. При этом снова по­лучается соотношение

ea< = const-^T-, <¹¹³>¹⁰>

а для зависимости a(t) находим:

а = a, sh т), / = — (ch г) — 1),

или при tj <С 1:

а = л/2а^с1 (113,9)

Ае^ = л/сЧ-г², th_x--£-

Конкретно, в случае (113,6) получим (положив Л = ао/2):

ds² = (l ^a° -V (с² dx² - dr² - r¹ (dQ² + sin² в dm²))

\ 2 -\/c²x² -r² )

(В. А. Фок, 1955). При больших значениях -\/с²х² — г² (чему соответствуют т| » 1) эта метрика стремится к галилеевой, что естественно было ожидать ввиду стремления радиуса кривизны к бесконечности)

не однородно; при этом распределение и движение материи оказываются центрально-симметричными вокруг произвольной точки пространства, вы­бранной в качестве начала координат т, 8, <р.

(и прежняя формула (112,15) для e(t)). Таким образом, и в от­крытой модели метрика имеет особую точку (но в отличие от закрытой модели — лишь одну).

Наконец, предельным случаем рассмотренных решений-, со­ответствующим бесконечному радиусу кривизны пространства, является модель с плоским (евклидовым) пространством. Ин­тервал ds² в этой модели можно написать в виде

ds² = c²dt² - Ь'^л (/) (dx² + dy² + dz*) (113,10)

(в качестве пространственных координат выбраны «декартовы* координаты х, у, г). Зависящий от времени множитель в эле­менте пространственного расстояния не меняет, очевидно, евкли-довости пространственной метрики, так как при заданном t этот множитель постоянен и простым преобразованием коорди­нат может быть приведен к единице. Вычисления, аналогичные произведенным в предыдущем параграфе, приводят к следую­щим уравнениям:

Ык 3 / йЪ \² „. , f ds , , — ^е = уЫ' 310* = -}^ +const.

Для случая малых давлений находим:

ui>³ = const, b = const t\ (113,11)

При малых t опять надо рассматривать случай р = е/3, при ко­тором получаем:

ей⁴ = const, b = const УГ. (113,12)

Таким образом, и в этом случае метрика имеет особую точку 0 = 0).

Отметим, что все найденные изотропные решения существуют лишь при отличной от нуля плотности материи; для пустого про­странства уравнения Эйнштейна не имеют такого рода реше­ний¹). Упомянем также, что в математическом отношении они являются частным случаем более общего класса решений, со­держащего три физически различные произвольные функции пространственных координат (см. задачу).

Задача

') При е = 0 из уравнения (113,5) мы получили бы a = a₀e^T, = cr (уравнение же (112,7) вообще теряет смысл ввиду мнимости корня). Но метрика

ds² = с² dt² - сЧ² {d%² + sh² х (dQ² + sin² 6 d(p²)} преобразованием г = ct sh x, т = t ch % приводится к виду ds² = c² dx² — dr² — r² (dQ² + sin² 0 d<p²), т. е. просто к галилееву пространству-времени.

Найти общий вид вблизи особой точки для метрики, в которой расши­рение пространства происходит «квазиоднородным» образом, т. е. так, что все компоненты Yop = -~ gap (в синхронной системе отсчета) стремятся к нулю по одинаковому закону. Пространство заполнено материей с уравне­нием состояния р = е/3 (£. Af. Лифшиц, И. Af. Халатников, 1960).

Рещелие. Ищем решение вблизи особой точки (t = 0) в виде

^{Таэ — ^ + ^рЧ- ■••> (1)}

где вцр, 6<ц) — функции координат (пространственных) '); ниже полагаем с = 1. Обратный тензор

где тензор а^а^ обретен a^j, a *=&^ayeiP 6_Yg; ниже все операции подни­мания неделею я ковариантного дифференцирования производятся при по­мощи не зависящей от времени метрики а^.

Вычисляя левые стороны уравнений (97,11) и (97,12) с необходимой точностью по 1/f, получим:

(где 6 = Ь*). Учитывая также тождество

1 = _Uiu' » «о ~ J «а«р^а°^Р.

найдем:

ftrte-^-JL. _аа==_^(_6;а_бР._р). (2)

Трехмерные символы Кристоффеля, а с ними и тензор в первом по \ft приближении не зависят от времени; при этом совпадают с вы­ражениями, получающимися при вычислении с метрикой просто а_а$. Учи­тывая это, найдем, что в уравнении (97,13) члены порядка /^_2 взаимно сокращаются, а члены ~ 1// дают

P_a + j^bl + -^^ = o,

откуда

feP^-lpP-i. JL&P (3)

(где Р = а^Р.Л Ввиду тождества

рР ~ — Р ■

(см. (92,10)) имеет место соотношение

⁶a;p=-§'ⁱ^^я,

и потому «_а можно переписать в виде

«.—Т¹:.. («>

') Фридмановскому решению отвечает специальный выбор функций a_ap соответствующий пространству постоянной кривизны, '

Таким образом, все шесть функций a_ag остаются произвольными, а по ним определяются коэффициенты Ь_ао следующего члена разложения (1), Выбор времени в метрике (1) полностью определен условием t = 0 в особой точке; пространственные же координаты допускают еще произвольные пре­образования, не затрагивающие времени (ими можно воспользоваться, на­пример, для приведения тензора а_ар к диагональному виду).

Поэтому полученное решение содержит всего три «физически различ­ные» произвольные функции.

Отметим, что в этом решении пространственная метрика неоднородна и анизотропна, а распределение плотности материи стремится при г-»-0 к од­нородному. Трехмерная скорость, v имеет (в приближении (4)) равный нулю ротор, а ее величина стремится к нулю по закону

р² = о_а»_ру^ае ~ г³.