D0 1 d 8jtfe то

АО А ~рГ I Oi

получим:

-^Ё_с^-е = |-(а² + а'²). (112,5)

Сюда входят две неизвестные функции е и а; поэтому необхо­димо получить еще одно уравнение. В качестве него удобно выбрать (вместо пространственных компонент уравнений Эйн­штейна) уравнение Го;,= 0—-одно из четырех уравнений (94,7), содержащихся, как мы знаем, в уравнениях поля. Это уравне­ние можно вывести и непосредственно с помощью термодинами­ческих соотношений следующим образом.

Пользуясь в уравнениях поля выражением (94,9) для тен­зора энергии-импульса, мы тем самым пренебрегаем всеми про­цессами диссипации энергии, приводящими к возрастанию эн­тропии. Такое пренебрежение, разумеется, здесь вполне законно, поскольку дополнительные члены, которые надо было бы при­бавить к Г{ в связи с диссипацией энергии, ничтожно малы по сравнению с плотностью энергии е, включающей в себя энергию покоя материальных тел.

Таким образом, при выводе уравнений поля мы можем счи­тать полную энтропию постоянной. Воспользуемся теперь извест­ным термодинамическим соотношением d<S = ТdS — р dV, где$", S, V — энергия, энтропия и объем системы, а р, Г —давление и температура. При постоянной энтропии имеем просто d<!?~ = —р dV. Вводя плотность энергии е = &/V, без труда находим:

* , . _ч dV

de = -(e + p)-_ir.

Объем пространства V пропорционален, согласно (111,9), кубу радиуса кривизны а. Поэтому dV/V = 3da/fL = 3d\na, и мы можем написать:

1— = 3d In а,

8 + р

или, интегрируя,

3\па = -^-~^ + const (112,6)

(нижний предел в интеграле постоянен).

Если связь между е и р (уравнение состояния материи) из­вестна, то уравнение (112,6) определяет в как функцию от а. Тогда из (112,5) мы можем определить п в виде

П = ±? '« (112,7)

^а Л/"з?~^{еа 1}

Уравнения (112,6—7) решают в общем виде задачу об определе­нии метрики в изотропной закрытой модели.

Если материя распределена в пространстве в виде отдельных макроскопических тел, то при определении создаваемого ею гра­витационного поля мы можем рассматривать эти тела как мате­риальные частицы, обладающие определенными массами, не ин­тересуясь вовсе их внутренним строением. Считая скорости тел сравнительно малыми( малыми по сравнению с с), можно поло­жить просто е = цс², где р — сумма масс тел, отнесенная к еди­нице объема. По той же причине давление «газа», состоящего из этих тел, крайне мало по сравнению с е и им можно пренебречь (давления же внутри тел, согласно сказанному, не имеют отно­шения к рассматриваемому вопросу). Что касается имеющегося в пространстве излучения, то его количество относительно мало и его энергией и давлением тоже можно пренебречь.

Таким образом, для описания в терминах рассматриваемой модели современного состояния Вселенной следует пользоваться уравнением состояния «пылевидной» материи

е = цс², р = 0.

Интегрирование в (112,6) дает тогда цд³ = const. Это равен­ство можно было бы написать и сразу, так как оно выражает собой просто постоянство суммы М масс тел во всем простран­стве, как и должно было быть в рассматриваемом случае пыле­видной материи¹). Поскольку объем пространства в замкнутой

■> Подчеркнем во избежание недоразумений (при сопоставлении с упо­мянутым в § 111 равенством нулю полного 4-импульса замкнутого мира), что М есть именно сумма масс тел, взятых по отдельности, без учета их гравитационного взаимодействия.

модели равен К ^Зя²^» та const*=М/2з&₍ Таким образом,

цо» = const = (112,8)

Подставив (112,8$ в уравнение (112,7) и произведя интегри­рование, получим}

а = а„(1 -cos л), (П2,9)

где постоянная

2*м

Наконец, для связи между t и tj находим из (112,3):

/«-^.(п-sinn). (H2.I0)

Уравнения (112,9—10) определяют в параметрическом виде за­висимость a(t). Функция a(t) возрастает от нуля при / = 0 (Л = 0) ДО максимального значения а — 2а₀? достигаемого при t = na₀/c (т) = я) и затем снова убывает до нуля при t = 2na₀/c .(Ч = 2я).

При tj ^ 1 имеем приближенно а = аоЦ³/2, t= а₀ц³/&с,т&к

что

V. (П2.11)

При этом плотность вещества

(численное значение коэффициента дано для плотности в г-см^-3 при t в секундах). Обратим внимание на то, что в этом пределе зависимость ц(г) имеет универсальный характер в том смысле, что не зависит от параметра а₀.

При а-*-0 плотность ц, обращается в бесконечность. Но при ц->оо давление тоже становится большим, и потому для иссле­дования метрики в этой области надо рассмотреть противопо­ложный случай наибольшего возможного (при данной плотности энергии е) давления, т. е. описывать материю уравнением со­стояния

в

(см. примечание на стр. 123). Из формулы (112,6) получим тогда

еа⁴ = const ^-g^j- (112,13)

(ai — новая постоянная), после чего уравнения (112,7) и (112,3) приводят к зависимости

a = e₁sinq« { = —-(1 — cosrj).

Поскольку это решение имеет смысл рассматривать только при очень больших значениях е (т. е. малых а), то положим tj С 1. Тогда а « ait], t fa atf/lc, так что

a = ^2a^L (112,14)

При этом

е 3 ___ 4,5-10⁵ П12Ш

{эта зависимость снова не содержит никаких параметров).

Таким образом, и здесь я->-0 при г-»-О, так что значение 1 = 0 действительно является особой точкой пространственно-временной метрики изотропной модели (и то же самое относится к закрытой модели и ко второй точке, в которой а = 0). Мы ви­дим также из (112,14), что при изменении знака t величина a(t) сделалась бы мнимой, а ее квадрат — отрицательным. Все че­тыре компоненты gik в (112,2) стали бы при этом положитель­ными, так же как и определитель g. Но такая метрика физи­чески бессмысленна. Это значит, что не имеет физического смысла аналитически продолжать метрику за особую точку.